11  Teoria de Resposta ao Item Não Paramétrica e Escalonamento de Mokken

Modelos da Teoria de Resposta ao Item (TRI) descrevem como as respostas aos itens dependem da posição de uma pessoa em um traço latente. Muitos modelos conhecidos de TRI são paramétricos: especificam uma forma matemática particular para a função de resposta ao item e estimam parâmetros dentro dessa forma.

A Análise de Escalas de Mokken (Mokken Scale Analysis; MSA) adota uma abordagem diferente. Ela pertence à TRI não paramétrica porque impõe restrições de ordem às funções de resposta ao item sem exigir uma forma logística ou ogiva-normal específica (Mokken, 1971; Sijtsma & Molenaar, 2002).

ImportanteNão paramétrico não significa livre de pressupostos

Os modelos de Mokken ainda fazem pressupostos psicométricos fortes. A diferença é que eles não prescrevem a forma funcional exata das curvas de resposta ao item. Em vez disso, enfatizam propriedades como unidimensionalidade, independência local, monotonicidade e — no modelo mais forte — ordenação invariante dos itens.

NotaMapa do capítulo

Este capítulo avança da teoria para a análise:

1. distinguir TRI paramétrica e não paramétrica;
2. definir os modelos de Homogeneidade Monótona e de Monotonicidade Dupla;
3. introduzir os coeficientes de escalabilidade de Loevinger;
4. usar o Procedimento Automático de Seleção de Itens para explorar escalas;
5. testar monotonicidade e independência local; e
6. examinar não interseção/ordenação invariante dos itens em R.

11.1 TRI paramétrica e não paramétrica

Um modelo paramétrico de TRI especifica uma função de resposta, como uma curva logística. Uma vez selecionada a forma do modelo, parâmetros dos itens determinam características como localização, discriminação ou acerto ao acaso.

Um modelo não paramétrico de TRI é menos restritivo quanto à forma dessa função. Essa flexibilidade é útil quando a exigência substantiva é principalmente ordinal: respondentes com níveis mais altos do traço latente devem ter probabilidade pelo menos tão alta de endossar ou responder corretamente a um item quanto respondentes com níveis mais baixos.

A distinção pode ser resumida da seguinte forma:

TRI paramétrica	TRI não paramétrica / Mokken
Especifica uma função de resposta ao item particular	Não especifica uma curva paramétrica exata
Parâmetros descrevem a forma da curva	Restrições de ordem descrevem como a curva pode se comportar
Pressupostos mais fortes podem produzir estimativas eficientes dos parâmetros	Pressupostos mais fracos sobre a forma funcional oferecem maior flexibilidade
Desajuste pode surgir de uma forma incorreta da curva	Desajuste é avaliado por violações de monotonicidade, escalabilidade, ordenação e pressupostos relacionados

Franco et al. (2022) fornecem uma introdução psicométrica detalhada à Análise de Escalas de Mokken e ao seu uso em psicologia.

12 Os modelos de Mokken

A Análise de Escalas de Mokken é construída em torno de dois modelos aninhados:

1. o Modelo de Homogeneidade Monótona (Monotone Homogeneity Model; MHM); e
2. o Modelo de Monotonicidade Dupla (Double Monotonicity Model; DMM).

O DMM acrescenta ao MHM uma exigência mais forte de ordenação dos itens (Mokken, 1971; Sijtsma & Molenaar, 2002).

12.1 Pressuposto 1: Unidimensionalidade

Para uma escala de Mokken unidimensional, as respostas são organizadas principalmente por uma variável latente, geralmente denotada

\[ \theta. \]

O pressuposto não significa que toda resposta humana seja literalmente causada por apenas um processo psicológico. Significa que o conjunto de itens é modelado como mensurando uma variável dominante de ordenação.

12.2 Pressuposto 2: Independência local

Seja

\[ \mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_k) \]

o vetor de respostas aos itens e seja \(\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_k)\) um padrão de respostas. A independência local estabelece que, condicionado a \(\theta\),

\[ P(\mathbf{X}=\mathbf{x}\mid\theta) = \prod_{i=1}^{k} P(X_i=x_i\mid\theta). \]

Assim, uma vez que pessoas sejam comparadas no mesmo nível do traço, conhecer a resposta de uma pessoa a um item não deve fornecer informação adicional sobre sua resposta a outro item.

Uma implicação relacionada é

\[ \operatorname{Cov}(X_i,X_j\mid\theta)=0. \]

Itens observados ainda podem se correlacionar na população porque os respondentes diferem em \(\theta\). A independência local estabelece que essa covariância deve ser explicada pelo traço latente, e não por dependência direta adicional entre os itens.

12.3 Pressuposto 3: Monotonicidade latente

Para um item \(i\), seja

\[ P_i(\theta) \]

a probabilidade de endossar o item ou obter um escore mais alto. A monotonicidade exige que essa função seja não decrescente:

\[ \theta_a \leq \theta_b \quad\Rightarrow\quad P_i(\theta_a)\leq P_i(\theta_b). \]

Uma pessoa com maior quantidade do traço latente, portanto, nunca deve apresentar sistematicamente menor probabilidade de obter o escore mais alto no item.

NotaO que a monotonicidade não exige

A curva não precisa ser logística, linear ou simétrica. Ela pode assumir muitas formas, desde que não diminua sistematicamente à medida que \(\theta\) aumenta.

12.4 Pressuposto 4: Não interseção / ordenação invariante dos itens

O Modelo de Monotonicidade Dupla acrescenta uma exigência mais forte: as funções de resposta aos itens devem preservar sua ordem ao longo do traço latente.

Para itens ordenados adequadamente,

\[ P_1(\theta) \leq P_2(\theta) \leq \cdots \leq P_k(\theta) \qquad\text{para todo }\theta. \]

Se o Item 1 for mais difícil que o Item 2, ele deve permanecer mais difícil em todo o contínuo do traço. As funções de resposta aos itens não devem se cruzar de forma que inverta a ordenação dos itens.

12.5 MHM versus DMM

Modelo	Pressupostos	Principal implicação de ordenação
Modelo de Homogeneidade Monótona	Unidimensionalidade + independência local + monotonicidade	Respondentes podem ser ordenados no traço latente
Modelo de Monotonicidade Dupla	MHM + ordenação invariante dos itens	Respondentes e itens podem ser ordenados

O MHM é, portanto, suficiente quando o objetivo é uma ordenação ordinal das pessoas. O DMM é útil quando o pesquisador também deseja uma ordenação estável dos itens (Sijtsma & Molenaar, 2002).

13 Coeficientes de escalabilidade de Loevinger

Uma quantidade central na Análise de Escalas de Mokken é o coeficiente de escalabilidade \(H\) de Loevinger (Loevinger, 1948). O coeficiente avalia quão próximas as respostas observadas aos itens estão da ordenação esperada em uma escala do tipo Guttman, permitindo erros probabilísticos.

Há três níveis de escalabilidade.

13.1 Escalabilidade entre pares: (H_{ij})

Para os itens \(i\) e \(j\),

\[ H_{ij} = \frac{ \operatorname{Cov}(X_i,X_j) }{ \operatorname{Cov}(X_i,X_j)^{\max} }. \]

O denominador é a covariância máxima possível sob as distribuições marginais dos escores dos itens sem erros de Guttman.

13.2 Escalabilidade do item: (H_i)

Para o item \(i\),

\[ H_i = \frac{ \operatorname{Cov}(X_i,R_{-i}) }{ \operatorname{Cov}(X_i,R_{-i})^{\max} }, \]

em que \(R_{-i}\) é o escore restante: o escore total nos demais itens depois que o item \(i\) é removido.

13.3 Escalabilidade da escala: (H)

No nível da escala completa,

\[ H = \frac{ \sum_i \operatorname{Cov}(X_i,R_{-i}) }{ \sum_i \operatorname{Cov}(X_i,R_{-i})^{\max} }. \]

Em uma escala de Mokken orientada adequadamente, espera-se que os coeficientes de pares, itens e escala sejam não negativos. Coeficientes negativos são um forte sinal de que a ordenação de um item é inconsistente com o restante da escala (Sijtsma & Molenaar, 2002).

Uma convenção descritiva comumente usada é:

Escala (H)	Interpretação descritiva
(H < .30)	Escalabilidade insuficiente para uma escala de Mokken
(.30 H < .40)	Fraca
(.40 H < .50)	Moderada
(H )	Forte

Esses valores são referências descritivas úteis, e não substitutos para a verificação dos pressupostos ou para a interpretação substantiva.

ImportanteH não é um coeficiente de precisão

Um coeficiente de escalabilidade alto indica que a ordenação dos itens se aproxima do padrão esperado pelo modelo de Mokken. Ele não estabelece, por si só, unidimensionalidade, independência local, monotonicidade, validade ou precisão dos escores.

14 Análise de Escalas de Mokken em R

O pacote mokken implementa a Análise de Escalas de Mokken em R (Ark, 2007; Ark, 2012).

14.1 Instalar e carregar o pacote

install.packages("mokken")

library(mokken)

Carregando pacotes exigidos: poLCA

Carregando pacotes exigidos: scatterplot3d

Carregando pacotes exigidos: MASS

14.2 Dados de exemplo: raciocínio transitivo

Usamos o conjunto de dados transreas incluído no pacote. Os dados contêm respostas de 425 crianças holandesas a um conjunto de tarefas dicotômicas de raciocínio transitivo (Verweij et al., 1996).

data(transreas)

items <- transreas[, 2:ncol(transreas)]

dim(items)

[1] 425  12

O conjunto de itens contém tarefas substantivas de raciocínio transitivo, além de pseudoitens úteis para ilustrar como os procedimentos de Mokken separam indicadores escaláveis de não escaláveis.

15 Etapa 1: explorar dimensionalidade com AISP

A Análise de Escalas de Mokken não requer procedimentos de retenção de fatores como a análise paralela. Em vez disso, o Procedimento Automático de Seleção de Itens (Automatic Item Selection Procedure; AISP) procura subconjuntos de itens que satisfaçam um limite inferior escolhido para escalabilidade (Mokken, 1971).

O procedimento começa com itens fortemente escaláveis, constrói uma escala adicionando itens compatíveis e, então, tenta formar escalas adicionais a partir dos itens que permanecem não alocados.

A busca por algoritmo genético pode melhorar o procedimento de seleção de itens em soluções complexas (Ark, 2012; Straat et al., 2013).

AISP <- mokken::aisp(
  items,
  search = "ga",
  lowerbound = seq(.30, .80, by = .05)
)

print(AISP)

     0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8
T09L   1    1   1    1   1    1   0    1   2    2   1
T12P   0    0   0    0   0    0   0    0   0    0   0
T10W   1    1   1    1   1    2   2    0   0    0   0
T11P   0    0   0    0   0    0   0    0   0    0   0
T04W   2    2   0    0   0    0   0    0   0    0   0
T05W   0    0   0    0   0    0   0    0   0    0   0
T02L   2    2   0    0   0    0   0    0   0    0   0
T07L   1    1   1    1   1    1   0    2   1    1   0
T03W   1    1   1    1   1    2   1    0   0    0   0
T01L   1    1   1    1   0    0   0    0   0    0   0
T08W   1    1   1    1   1    1   1    1   2    2   1
T06A   1    1   1    1   1    1   2    2   1    1   0

Cada coluna corresponde a um valor de limite inferior. As entradas indicam a qual escala um item é atribuído:

• 0 = o item não é atribuído a uma escala nesse limite inferior;
• 1 = Escala 1;
• 2 = Escala 2; e assim por diante.

15.1 Como interpretar a tabela AISP

Não selecione um limite inferior apenas porque ele produz o número preferido de escalas. Procure uma solução que seja estável entre limites inferiores próximos e substantivamente interpretável.

No exemplo usado no capítulo original, a primeira escala permanece relativamente estável até um limite inferior de aproximadamente .45, enquanto uma segunda escala é menos consistente entre diferentes escolhas de limite inferior. Isso torna o primeiro agrupamento um candidato razoável para as verificações subsequentes dos pressupostos.

scale1 <- items[
  ,
  colnames(items)[which(AISP[, "0.45"] == 1)],
  drop = FALSE
]

colnames(scale1)

[1] "T09L" "T10W" "T07L" "T03W" "T01L" "T08W" "T06A"

AvisoAISP é exploratório

O AISP ajuda a identificar subconjuntos escaláveis de itens. Ele não comprova que a escala resultante seja unidimensional nem que todo item retido satisfaça todos os pressupostos de Mokken. A escala candidata ainda precisa ser verificada.

16 Etapa 2: verificar coeficientes de escalabilidade

Antes de avançar para verificações mais detalhadas dos pressupostos, inspecione os coeficientes de escalabilidade de pares, itens e escala total:

H_results <- mokken::coefH(scale1)

$Hij
     T09L    se      T10W    se      T07L    se      T03W    se      T01L   
T09L                  0.463  (0.072)  0.497  (0.140)  0.526  (0.161)  0.336 
T10W  0.463  (0.072)                  0.534  (0.096)  0.568  (0.111)  0.538 
T07L  0.497  (0.140)  0.534  (0.096)                  0.444  (0.080)  0.479 
T03W  0.526  (0.161)  0.568  (0.111)  0.444  (0.080)                  0.548 
T01L  0.336  (0.260)  0.538  (0.161)  0.479  (0.114)  0.548  (0.108)        
T08W  1.000  (0.000)  0.588  (0.209)  0.493  (0.154)  0.677  (0.135)  0.317 
T06A  0.698  (0.286)  0.650  (0.222)  0.785  (0.137)  0.589  (0.162)  0.420 
     se      T08W    se      T06A    se     
T09L (0.260)  1.000  (0.000)  0.698  (0.286)
T10W (0.161)  0.588  (0.209)  0.650  (0.222)
T07L (0.114)  0.493  (0.154)  0.785  (0.137)
T03W (0.108)  0.677  (0.135)  0.589  (0.162)
T01L          0.317  (0.133)  0.420  (0.157)
T08W (0.133)                  0.530  (0.153)
T06A (0.157)  0.530  (0.153)                

$Hi
     Item H  se     
T09L   0.496 (0.070)
T10W   0.518 (0.057)
T07L   0.507 (0.060)
T03W   0.531 (0.064)
T01L   0.462 (0.085)
T08W   0.546 (0.103)
T06A   0.592 (0.098)

$H
Scale H      se 
  0.515 (0.052) 

H_results

$Hij
     T09L    se      T10W    se      T07L    se      T03W    se      T01L   
T09L                  0.463  (0.072)  0.497  (0.140)  0.526  (0.161)  0.336 
T10W  0.463  (0.072)                  0.534  (0.096)  0.568  (0.111)  0.538 
T07L  0.497  (0.140)  0.534  (0.096)                  0.444  (0.080)  0.479 
T03W  0.526  (0.161)  0.568  (0.111)  0.444  (0.080)                  0.548 
T01L  0.336  (0.260)  0.538  (0.161)  0.479  (0.114)  0.548  (0.108)        
T08W  1.000  (0.000)  0.588  (0.209)  0.493  (0.154)  0.677  (0.135)  0.317 
T06A  0.698  (0.286)  0.650  (0.222)  0.785  (0.137)  0.589  (0.162)  0.420 
     se      T08W    se      T06A    se     
T09L (0.260)  1.000  (0.000)  0.698  (0.286)
T10W (0.161)  0.588  (0.209)  0.650  (0.222)
T07L (0.114)  0.493  (0.154)  0.785  (0.137)
T03W (0.108)  0.677  (0.135)  0.589  (0.162)
T01L          0.317  (0.133)  0.420  (0.157)
T08W (0.133)                  0.530  (0.153)
T06A (0.157)  0.530  (0.153)                

$Hi
     Item H  se     
T09L   0.496 (0.070)
T10W   0.518 (0.057)
T07L   0.507 (0.060)
T03W   0.531 (0.064)
T01L   0.462 (0.085)
T08W   0.546 (0.103)
T06A   0.592 (0.098)

$H
Scale H      se 
  0.515 (0.052) 

$covHij
               [,1]          [,2]          [,3]          [,4]           [,5]
 [1,]  5.124444e-03  2.291763e-03  5.188406e-04  1.470397e-03   5.215660e-85
 [2,]  2.291763e-03  1.950048e-02  7.257806e-03  1.335455e-02   6.127697e-84
 [3,]  5.188406e-04  7.257806e-03  2.576480e-02  7.412712e-03   1.236029e-83
 [4,]  1.470397e-03  1.335455e-02  7.412712e-03  6.745195e-02   1.754834e-83
 [5,]  5.215660e-85  6.127697e-84  1.236029e-83  1.754834e-83  4.060058e-163
 [6,] -6.777996e-04  1.213038e-02  6.654589e-04  3.048915e-02   2.503084e-83
 [7,]  2.991652e-04  2.197929e-03  1.032205e-03  4.798878e-03   8.304260e-84
 [8,]  2.631726e-04  1.027956e-03  8.371341e-03 -6.215615e-04   1.204504e-83
 [9,] -9.204136e-06  4.688150e-03 -8.377601e-04  1.747996e-02   1.265807e-83
[10,]  1.075011e-03  1.855521e-03  2.612667e-03  3.738671e-03  -3.693808e-85
[11,]  3.418055e-04  7.533212e-03  1.423006e-03  1.768830e-02  -2.713458e-85
[12,] -2.495751e-04  5.282013e-04  1.087163e-03  4.762026e-04   9.461434e-84
[13,]  1.879366e-04 -8.275895e-04 -2.020509e-04 -1.095805e-03   1.665723e-83
[14,]  3.922079e-04  2.264756e-03  1.854325e-03  4.923104e-03  -1.136134e-84
[15,]  2.669003e-04  4.581488e-04  3.495675e-04  1.481677e-04  -1.669361e-83
[16,] -8.381994e-05  2.340116e-03  1.100019e-03  1.126950e-02   1.210758e-83
[17,]  4.254962e-04  1.392247e-03  2.257697e-03  2.870105e-03  -1.096703e-84
[18,]  3.174172e-05  3.227922e-03  2.321078e-03  1.033224e-02   1.796487e-83
[19,]  2.023778e-04  1.332078e-03  9.332798e-04  6.502099e-03  -1.128107e-84
[20,]  1.880219e-04 -1.695662e-03  8.616335e-04  2.923469e-04   4.481609e-84
[21,] -2.055487e-04  1.675852e-03  7.926000e-04  7.098194e-03   3.994796e-83
               [,6]          [,7]          [,8]          [,9]         [,10]
 [1,] -6.777996e-04  2.991652e-04  2.631726e-04 -9.204136e-06  1.075011e-03
 [2,]  1.213038e-02  2.197929e-03  1.027956e-03  4.688150e-03  1.855521e-03
 [3,]  6.654589e-04  1.032205e-03  8.371341e-03 -8.377601e-04  2.612667e-03
 [4,]  3.048915e-02  4.798878e-03 -6.215615e-04  1.747996e-02  3.738671e-03
 [5,]  2.503084e-83  8.304260e-84  1.204504e-83  1.265807e-83 -3.693808e-85
 [6,]  8.203175e-02  7.120081e-03  1.023608e-03  1.736636e-02  7.414980e-04
 [7,]  7.120081e-03  9.272834e-03  2.487859e-03  4.295681e-03  7.390190e-04
 [8,]  1.023608e-03  2.487859e-03  1.223636e-02  4.721542e-03  1.722962e-03
 [9,]  1.736636e-02  4.295681e-03  4.721542e-03  2.597981e-02  1.799901e-03
[10,]  7.414980e-04  7.390190e-04  1.722962e-03  1.799901e-03  4.363708e-02
[11,]  4.255383e-02  4.145425e-03  1.199686e-03  9.907663e-03  1.938324e-02
[12,]  1.595661e-03  1.006671e-03  2.438972e-03  1.343312e-03  1.476339e-03
[13,] -3.294696e-03  2.592726e-04  1.164842e-03  1.291066e-03  2.742581e-03
[14,]  1.436415e-03  1.796721e-03  1.312949e-03  3.057440e-03  1.935734e-02
[15,] -5.813420e-03  5.525154e-04  7.952012e-05  1.643483e-04  8.967135e-03
[16,]  9.006840e-03  1.652664e-03  8.632106e-04  5.301939e-03  2.205295e-03
[17,]  1.433212e-03  8.821499e-04  1.718701e-03  1.688280e-03  2.321261e-02
[18,]  1.939368e-02  1.755570e-03  2.079917e-03  6.207543e-03  1.202063e-02
[19,]  2.076368e-03  9.828260e-04  7.280852e-04  4.358679e-03  1.078883e-02
[20,] -1.553164e-02 -8.915929e-04  6.554929e-04  8.500721e-04  6.628352e-03
[21,]  1.517961e-02  8.180671e-04  8.709281e-04  4.304422e-03  1.670189e-03
              [,11]         [,12]         [,13]         [,14]         [,15]
 [1,]  3.418055e-04 -2.495751e-04  1.879366e-04  3.922079e-04  2.669003e-04
 [2,]  7.533212e-03  5.282013e-04 -8.275895e-04  2.264756e-03  4.581488e-04
 [3,]  1.423006e-03  1.087163e-03 -2.020509e-04  1.854325e-03  3.495675e-04
 [4,]  1.768830e-02  4.762026e-04 -1.095805e-03  4.923104e-03  1.481677e-04
 [5,] -2.713458e-85  9.461434e-84  1.665723e-83 -1.136134e-84 -1.669361e-83
 [6,]  4.255383e-02  1.595661e-03 -3.294696e-03  1.436415e-03 -5.813420e-03
 [7,]  4.145425e-03  1.006671e-03  2.592726e-04  1.796721e-03  5.525154e-04
 [8,]  1.199686e-03  2.438972e-03  1.164842e-03  1.312949e-03  7.952012e-05
 [9,]  9.907663e-03  1.343312e-03  1.291066e-03  3.057440e-03  1.643483e-04
[10,]  1.938324e-02  1.476339e-03  2.742581e-03  1.935734e-02  8.967135e-03
[11,]  4.937387e-02  1.519570e-03 -4.774828e-04  9.637893e-03  1.181554e-02
[12,]  1.519570e-03  6.344432e-03  3.204835e-03  3.783223e-03  2.062627e-03
[13,] -4.774828e-04  3.204835e-03  1.308394e-02  3.056845e-03  1.656607e-03
[14,]  9.637893e-03  3.783223e-03  3.056845e-03  2.380768e-02  1.097068e-02
[15,]  1.181554e-02  2.062627e-03  1.656607e-03  1.097068e-02  1.876210e-02
[16,]  5.825290e-03  1.180921e-03  5.280061e-03  2.909738e-03  7.921922e-04
[17,]  1.147000e-02  1.240152e-03  2.052567e-03  1.520042e-02  4.725970e-03
[18,]  2.243866e-02  2.051200e-03  1.605642e-03  6.548249e-03  2.979217e-03
[19,]  6.723704e-03  2.188778e-03  4.871780e-03  1.323700e-02  6.852792e-03
[20,] -1.482173e-03  1.737301e-03  5.382593e-03  8.013988e-03  9.264682e-03
[21,]  1.470099e-03  2.957008e-04  5.487076e-04  2.194908e-03 -9.030244e-03
              [,16]         [,17]        [,18]         [,19]         [,20]
 [1,] -8.381994e-05  4.254962e-04 3.174172e-05  2.023778e-04  1.880219e-04
 [2,]  2.340116e-03  1.392247e-03 3.227922e-03  1.332078e-03 -1.695662e-03
 [3,]  1.100019e-03  2.257697e-03 2.321078e-03  9.332798e-04  8.616335e-04
 [4,]  1.126950e-02  2.870105e-03 1.033224e-02  6.502099e-03  2.923469e-04
 [5,]  1.210758e-83 -1.096703e-84 1.796487e-83 -1.128107e-84  4.481609e-84
 [6,]  9.006840e-03  1.433212e-03 1.939368e-02  2.076368e-03 -1.553164e-02
 [7,]  1.652664e-03  8.821499e-04 1.755570e-03  9.828260e-04 -8.915929e-04
 [8,]  8.632106e-04  1.718701e-03 2.079917e-03  7.280852e-04  6.554929e-04
 [9,]  5.301939e-03  1.688280e-03 6.207543e-03  4.358679e-03  8.500721e-04
[10,]  2.205295e-03  2.321261e-02 1.202063e-02  1.078883e-02  6.628352e-03
[11,]  5.825290e-03  1.147000e-02 2.243866e-02  6.723704e-03 -1.482173e-03
[12,]  1.180921e-03  1.240152e-03 2.051200e-03  2.188778e-03  1.737301e-03
[13,]  5.280061e-03  2.052567e-03 1.605642e-03  4.871780e-03  5.382593e-03
[14,]  2.909738e-03  1.520042e-02 6.548249e-03  1.323700e-02  8.013988e-03
[15,]  7.921922e-04  4.725970e-03 2.979217e-03  6.852792e-03  9.264682e-03
[16,]  1.167544e-02  1.620302e-03 3.922872e-03  4.306217e-03  2.308159e-03
[17,]  1.620302e-03  1.825994e-02 7.644636e-03  8.481083e-03  3.932522e-03
[18,]  3.922872e-03  7.644636e-03 2.635703e-02  4.976398e-03  7.931710e-03
[19,]  4.306217e-03  8.481083e-03 4.976398e-03  1.774891e-02  1.053639e-02
[20,]  2.308159e-03  3.932522e-03 7.931710e-03  1.053639e-02  2.473096e-02
[21,]  2.556516e-03  2.377019e-03 1.116614e-02  2.744000e-03  2.416039e-03
              [,21]
 [1,] -2.055487e-04
 [2,]  1.675852e-03
 [3,]  7.926000e-04
 [4,]  7.098194e-03
 [5,]  3.994796e-83
 [6,]  1.517961e-02
 [7,]  8.180671e-04
 [8,]  8.709281e-04
 [9,]  4.304422e-03
[10,]  1.670189e-03
[11,]  1.470099e-03
[12,]  2.957008e-04
[13,]  5.487076e-04
[14,]  2.194908e-03
[15,] -9.030244e-03
[16,]  2.556516e-03
[17,]  2.377019e-03
[18,]  1.116614e-02
[19,]  2.744000e-03
[20,]  2.416039e-03
[21,]  2.353244e-02

$covHi
            [,1]        [,2]        [,3]        [,4]        [,5]        [,6]
[1,] 0.004875122 0.002521933 0.001537349 0.001674098 0.001611928 0.001088075
[2,] 0.002521933 0.003198798 0.001843146 0.001938512 0.001784295 0.001997937
[3,] 0.001537349 0.001843146 0.003564549 0.002587688 0.002769382 0.002814759
[4,] 0.001674098 0.001938512 0.002587688 0.004139013 0.002837914 0.003183693
[5,] 0.001611928 0.001784295 0.002769382 0.002837914 0.007192337 0.004400494
[6,] 0.001088075 0.001997937 0.002814759 0.003183693 0.004400494 0.010555713
[7,] 0.001596821 0.001958767 0.002247952 0.002983221 0.004387283 0.006076041
            [,7]
[1,] 0.001596821
[2,] 0.001958767
[3,] 0.002247952
[4,] 0.002983221
[5,] 0.004387283
[6,] 0.006076041
[7,] 0.009647901

$covH
            [,1]
[1,] 0.002693066

Preste atenção especial a:

• valores negativos ou muito pequenos de \(H_{ij}\);
• itens com \(H_i\) abaixo do limite inferior pretendido; e
• o \(H\) global da escala candidata.

Os coeficientes devem ser interpretados em conjunto com a solução AISP, e não como testes independentes de aprovação/reprovação.

17 Etapa 3: verificar monotonicidade latente

MonLat <- mokken::check.monotonicity(scale1)

summary(MonLat)

     ItemH #ac #vi #vi/#ac maxvi sum sum/#ac zmax #zsig crit
T09L  0.50   1   0       0     0   0       0    0     0    0
T10W  0.52   3   0       0     0   0       0    0     0    0
T07L  0.51   3   0       0     0   0       0    0     0    0
T03W  0.53   3   0       0     0   0       0    0     0    0
T01L  0.46   3   0       0     0   0       0    0     0    0
T08W  0.55   1   0       0     0   0       0    0     0    0
T06A  0.59   0   0     NaN     0   0     NaN    0     0    0

A saída de monotonicidade avalia se as funções de resposta aos itens apresentam reduções substanciais entre grupos crescentes de escores restantes.

Quantidades importantes geralmente incluem:

Saída	Significado
#ac / comparações ativas	Número de comparações disponíveis para avaliar monotonicidade
#vi	Número de violações observadas de monotonicidade
maxvi	Magnitude da maior violação
zmax	Estatística padronizada da maior violação
#zsig	Número de violações estatisticamente significativas

A significância estatística isoladamente não deve decidir se um item é removido. O número, a magnitude, a localização e a importância substantiva das violações importam conjuntamente.

No exemplo, o Item T06A pode fornecer pouca variação útil e pode ser removido antes de prosseguir:

scale2 <- scale1[
  ,
  setdiff(colnames(scale1), "T06A"),
  drop = FALSE
]

Se o nome do item for diferente na versão do conjunto de dados instalada, inspecione colnames(scale1) e remova explicitamente o item correspondente.

18 Etapa 4: verificar independência local

O procedimento de associação condicional pode ser usado para investigar dependência local:

CA <- mokken::check.ca(scale2)

print(CA)

[[1]]
[1] TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE

Evidência de associação condicional entre pares de itens sugere que sua relação não é totalmente explicada pela variável latente de ordenação. Possíveis razões incluem redação muito semelhante, material-estímulo compartilhado, testlets ou dimensões substantivas adicionais.

DicaDependência local é informação substantiva

Se dois itens permanecerem dependentes após o condicionamento na escala, não exclua automaticamente um deles. Primeiro pergunte por que a dependência existe. Um par de itens quase duplicados implica um problema de mensuração diferente de um par que compartilha um processo secundário teoricamente significativo.

19 Etapa 5: verificar ordenação invariante dos itens

Para o Modelo de Monotonicidade Dupla, também examinamos se as funções de resposta aos itens preservam sua ordenação.

NI <- mokken::check.pmatrix(scale2)

summary(NI)

     ItemH #ac #vi #vi/#ac maxvi sum sum/#ac zmax #zsig crit
T09L  0.49  20   0       0     0   0       0    0     0    0
T10W  0.51  20   0       0     0   0       0    0     0    0
T07L  0.49  20   0       0     0   0       0    0     0    0
T03W  0.53  20   0       0     0   0       0    0     0    0
T01L  0.47  20   0       0     0   0       0    0     0    0
T08W  0.55  20   0       0     0   0       0    0     0    0

Uma solução sem violações importantes fornece evidência consistente com ordenação invariante dos itens. Se as curvas dos itens se cruzarem substancialmente, o Modelo de Homogeneidade Monótona, mais fraco, ainda pode ser útil mesmo quando o Modelo de Monotonicidade Dupla não é sustentado.

20 Um fluxo de trabalho prático de Mokken

Etapa	Pergunta
AISP	Quais grupos de itens formam subconjuntos escaláveis estáveis?
(H_{ij}, H_i, H)	Com que força pares de itens, itens e a escala completa satisfazem a ordenação de escalabilidade?
Monotonicidade	Níveis mais altos do traço/escore restante correspondem a endosso não decrescente dos itens?
Independência local	Permanecem relações importantes entre itens após condicionar na ordenação latente?
Ordenação invariante dos itens	A dificuldade/ordem relativa dos itens permanece estável entre os respondentes?
Revisão substantiva	Os itens retidos ainda representam adequadamente o construto pretendido?

21 Relatando a Análise de Escalas de Mokken

Um relato transparente deve incluir:

• o formato de resposta dos itens;
• o método de busca AISP e os valores de limite inferior examinados;
• a solução de escala selecionada e como ela foi escolhida;
• coeficientes \(H\) de pares, itens e escala;
• diagnósticos de monotonicidade;
• o método usado para inspecionar independência local;
• evidências a favor ou contra ordenação invariante dos itens;
• quaisquer itens removidos e a razão para remoção; e
• a interpretação substantiva da escala final.

Uma descrição concisa poderia ser:

A Análise de Escalas de Mokken foi conduzida usando o pacote mokken. Escalas candidatas foram exploradas com o procedimento automático de seleção de itens, usando busca por algoritmo genético em limites inferiores de escalabilidade de .30 a .80. A solução retida foi então avaliada usando os coeficientes de escalabilidade de Loevinger para pares, itens e escala total, verificações de monotonicidade, diagnósticos de associação condicional para independência local e análises de ordenação invariante dos itens.

Relate os coeficientes e as estatísticas de violação efetivamente obtidos em sua análise, em vez de depender apenas de rótulos qualitativos como fraca ou forte.

22 Considerações finais

A Análise de Escalas de Mokken é útil quando o objetivo principal de mensuração é ordinal e o pesquisador não deseja impor uma forma paramétrica específica às funções de resposta aos itens. Essa flexibilidade não elimina pressupostos psicométricos; ela desloca a atenção para restrições de ordem que podem ser avaliadas diretamente.

O Modelo de Homogeneidade Monótona sustenta uma ordenação ordinal das pessoas quando unidimensionalidade, independência local e monotonicidade são razoáveis. O Modelo de Monotonicidade Dupla, mais forte, sustenta adicionalmente uma ordenação invariante dos itens. O \(H\) de Loevinger, o AISP, verificações de monotonicidade, associação condicional e diagnósticos de ordenação invariante dos itens abordam diferentes partes desse framework.

A lição importante, portanto, não é simplesmente que o escalonamento de Mokken seja “não paramétrico”. Seu valor está em tornar explícito e empiricamente examinável um conjunto diferente de afirmações de mensuração — particularmente afirmações monotônicas e ordinais.

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