2  Teoria Clássica dos Testes

A avaliação psicológica e educacional depende fortemente de escores. Um estudante recebe um escore em uma prova, um paciente recebe um escore em uma escala de sintomas e um participante de pesquisa recebe um escore em um questionário. Frequentemente interpretamos esses números como indicadores de um atributo subjacente, como conhecimento, ansiedade, autoestima ou bem-estar. No entanto, a mesma pessoa raramente obteria exatamente o mesmo escore se a avaliação fosse repetida.

Suponha que um estudante faça versões equivalentes da mesma prova em várias ocasiões e obtenha escores como 74, 78, 75, 81, 76 e 73. Qual desses é o escore “verdadeiro” do estudante? A Teoria Clássica dos Testes (TCT) oferece uma forma influente de formalizar esse problema. Sua ideia central é simples: um escore observado reflete tanto um componente estável quanto erro de mensuração (Brennan, 2011; Lord & Novick, 1968).

NotaMapa do capítulo

Neste capítulo, partimos da decomposição básica da TCT e avançamos para precisão, erro padrão de medida, intervalos de confiança, comprimento do teste, análise clássica de itens e um exemplo aplicado em R. A seção final também explicita o que a TCT pode — e não pode — nos dizer sobre a mensuração psicológica.

2.1 Por que os Escores Variam?

A variação nos escores observados não implica necessariamente que o próprio atributo tenha mudado. O desempenho de uma pessoa pode ser influenciado por fatores temporários como fadiga, atenção, adivinhação, os itens específicos amostrados, distrações ambientais ou outras fontes de variação aleatória. A TCT fornece uma estrutura para descrever como essa incerteza afeta os escores observados (Lord & Novick, 1968; Pasquali, 2017).

Uma forma útil de desenvolver intuição é imaginar um número indefinidamente grande de replicações hipotéticas do mesmo procedimento de mensuração sob as condições que definem o teste. O escore observado pode variar de uma replicação para outra, mas o centro dessa distribuição hipotética é tratado como o escore verdadeiro da pessoa.

set.seed(2026)

true_score <- 75
error_sd <- 4

repeated_scores <- true_score + rnorm(
  n = 1000,
  mean = 0,
  sd = error_sd
)

hist(
  repeated_scores,
  breaks = 25,
  main = "Escores repetidos hipotéticos",
  xlab = "Escore observado"
)

abline(v = true_score, lwd = 3)
Figura 2.1: Escores repetidos hipotéticos para uma pessoa sob o mesmo procedimento de mensuração.

A linha vertical representa o escore esperado ao longo das replicações hipotéticas. Os escores observados individuais flutuam em torno desse valor.

2.2 O Modelo da Teoria Clássica dos Testes

A decomposição básica da TCT é

\[ X = T + E, \]

em que

  • \(X\) é o escore observado,
  • \(T\) é o escore verdadeiro, e
  • \(E\) é o escore de erro.

A relação é ilustrada em Figura 2.2.

Figura 2.2: A abordagem da TCT

2.2.1 Escore observado

O escore observado, \(X\), é o escore efetivamente produzido pelo procedimento de mensuração. Dependendo da avaliação, ele pode ser uma soma, média, composição ponderada ou outra função de escore.

2.2.2 Escore verdadeiro

Na TCT, o escore verdadeiro é formalmente definido como o valor esperado do escore observado ao longo de replicações hipotéticas do procedimento de mensuração (Brennan, 2011; Lord & Novick, 1968):

\[ T = \mathbb{E}(X). \]

Essa definição é importante porque o escore verdadeiro da TCT não deve ser automaticamente equiparado à “capacidade real”, à “ansiedade real” de uma pessoa ou ao próprio construto. Ele é uma propriedade do procedimento de mensuração. Um teste pode produzir escores verdadeiros altamente consistentes e ainda assim medir o atributo errado ou sustentar uma interpretação inválida.

Essa distinção se conecta diretamente à discussão de validade em Capítulo 1: a precisão diz respeito à consistência ou à precisão dos escores, enquanto a validade diz respeito à interpretação e ao uso desses escores.

2.2.3 Escore de erro

Para uma administração específica,

\[ E = X - T. \]

O escore de erro representa o desvio do escore observado em relação ao escore esperado da pessoa dentro da estrutura de replicação da TCT. Ele não é observado diretamente porque o próprio \(T\) não é observado.

AvisoErro aleatório não é o mesmo que viés sistemático

Uma influência sistemática que persiste ao longo das replicações hipotéticas pode tornar-se parte do escore esperado \(T\), em vez de aparecer como erro aleatório \(E\). Por exemplo, se um item desfavorece sistematicamente um grupo da mesma maneira em todas as administrações, alta precisão não faz esse viés desaparecer. Uma medida pode, portanto, ser altamente precisa e ainda sustentar uma interpretação inválida (Brennan, 2011; Lord & Novick, 1968).

2.3 Pressupostos da Decomposição da TCT

A equação \(X=T+E\) torna-se útil por meio das definições e pressupostos a ela associados. A expectativa fundamental é

\[ \mathbb{E}(E)=0. \]

Como \(T=\mathbb{E}(X)\), os erros têm média zero ao longo das replicações hipotéticas que definem o procedimento de mensuração. Um erro positivo em uma ocasião é, em expectativa, compensado por erros negativos em outras ocasiões.

Um segundo resultado importante é que escores verdadeiros e erros não são correlacionados no modelo clássico:

\[ \operatorname{Cov}(T,E)=0. \]

Quando medidas paralelas são consideradas, a TCT também pressupõe que seus escores de erro não sejam correlacionados:

\[ \operatorname{Cov}(E,E')=0. \]

Esses pressupostos permitem decompor a variância dos escores observados:

\[ \sigma_X^2 = \sigma_T^2 + \sigma_E^2. \]

Assim, a variância dos escores observados contém tanto variação sistemática entre pessoas, representada pelos escores verdadeiros, quanto variação atribuível ao erro de mensuração (Brennan, 2011; Lord & Novick, 1968).

ImportanteA TCT não é um modelo de regressão comum

A expressão \(X=T+E\) se parece com uma decomposição de regressão, mas a analogia é limitada. Nem \(T\) nem \(E\) são diretamente observados, e \(E\) não deve ser interpretado simplesmente como um resíduo comum de um modelo ajustado. Os componentes da TCT recebem seu significado das definições e dos pressupostos de replicação impostos ao procedimento de mensuração (Brennan, 2011).

2.4 Do Erro de Mensuração à Precisão

A precisão descreve quanto da variância dos escores observados é atribuível à variância dos escores verdadeiros, em vez da variância de erro. Na TCT,

\[ \rho_{XX'} = \frac{\sigma_T^2}{\sigma_X^2} = \frac{\sigma_T^2} {\sigma_T^2+\sigma_E^2}. \]

Sob os pressupostos de formas paralelas, a precisão também pode ser expressa como a correlação entre duas medidas paralelas:

\[ \rho_{XX'}=\operatorname{Cor}(X,X'). \]

A precisão se aproxima de 1 à medida que a variância de erro se torna pequena em relação à variância do escore verdadeiro. Inversamente, a precisão diminui à medida que a variância de erro se torna grande em relação à variância do escore verdadeiro (Brennan, 2011; Lord & Novick, 1968).

2.4.1 A precisão é uma propriedade dos escores em uma população

A precisão às vezes é discutida como se fosse uma característica permanente de um instrumento — por exemplo, “esta escala tem precisão de .85”. Essa forma abreviada pode ser enganosa.

Como a precisão é uma razão de variâncias,

\[ \rho_{XX'} = \frac{\sigma_T^2} {\sigma_T^2+\sigma_E^2}, \]

sua magnitude depende, em parte, da quantidade de variabilidade do escore verdadeiro na população estudada. Se uma amostra for muito homogênea, \(\sigma_T^2\) pode ser pequena e a precisão pode diminuir mesmo que o procedimento de mensuração em si não tenha mudado. Uma amostra mais heterogênea pode produzir um coeficiente de precisão maior porque há mais variância entre pessoas a ser distinguida (Brennan, 2011; Lord & Novick, 1968).

Por essa razão, a precisão normalmente deve ser estimada e relatada para a amostra e o uso do escore em investigação, em vez de ser tratada como uma propriedade fixa herdada de um estudo de validação anterior.

2.5 Medidas Paralelas, Tau-Equivalentes e Congenéricas

Diferentes coeficientes de precisão dependem de diferentes pressupostos de mensuração. É útil distinguir três modelos comuns (Graham, 2006; McDonald, 1999).

2.5.1 Medidas paralelas

Medidas paralelas são as mais restritivas. Elas apresentam os mesmos escores verdadeiros e variâncias de erro iguais. Em notação simplificada,

\[ X_1=T+E_1, \qquad X_2=T+E_2, \]

com

\[ \sigma_{E_1}^2=\sigma_{E_2}^2. \]

2.5.2 Medidas tau-equivalentes

Medidas tau-equivalentes relaxam algumas das restrições das formas paralelas. Seus escores esperados podem diferir por constantes aditivas ao mesmo tempo que refletem a mesma variação subjacente do escore verdadeiro. Em uma interpretação por modelo fatorial, a tau-equivalência corresponde aproximadamente a itens com cargas iguais no fator comum, permitindo que seus interceptos e variâncias de erro sejam diferentes.

2.5.3 Medidas congenéricas

A mensuração congenérica é mais flexível:

\[ X_j=\alpha_j+\lambda_jT+E_j. \]

Diferentes itens podem ter diferentes interceptos, diferentes relações com o atributo comum e diferentes variâncias de erro. Essa costuma ser uma representação mais realista de escalas psicológicas, nas quais alguns itens são indicadores mais fortes do que outros (Graham, 2006; McDonald, 1999).

Essas distinções importam porque um coeficiente de precisão pode funcionar bem sob um modelo e mal sob outro.

2.6 Formas de Estimar a Precisão

A estimativa de precisão apropriada depende da fonte de erro de mensuração que o pesquisador deseja avaliar.

2.6.1 Precisão teste–reteste

A precisão teste–reteste examina a estabilidade dos escores ao longo de ocasiões. A mesma avaliação é administrada às mesmas pessoas em momentos diferentes e a associação entre os escores é avaliada.

Esse delineamento é útil quando a instabilidade temporal constitui uma fonte relevante de erro de mensuração. Entretanto, correlações baixo teste–reteste podem refletir mudança real no atributo, erro de mensuração ou ambos. O intervalo de tempo e a estabilidade substantiva do construto, portanto, são importantes.

2.6.2 Precisão por formas alternativas

A precisão por formas alternativas compara escores de diferentes versões da mesma avaliação. Se as formas forem genuinamente paralelas, sua correlação estima a precisão da TCT. Na prática, construir formas verdadeiramente paralelas é difícil, porque elas podem diferir em dificuldade, amostragem de conteúdo ou variância de erro (Brennan, 2011).

2.6.3 Precisão por metades

Um teste também pode ser dividido em duas partes e a associação entre os escores das metades pode ser examinada. Como cada metade é mais curta que o teste completo, a correlação bruta entre as metades subestima a precisão do teste de comprimento total. A fórmula de Spearman–Brown corrige essa diferença (Brown, 1910; Spearman, 1910).

2.6.4 Coeficientes de consistência interna

Coeficientes de consistência interna estimam a precisão usando informações dos itens obtidas em uma única administração. O exemplo mais conhecido é o coeficiente alfa.

2.7 Coeficiente Alfa

Para um teste com \(k\) itens, o coeficiente alfa pode ser escrito como

\[ \alpha = \frac{k}{k-1} \left( 1- \frac{\sum_{j=1}^{k}\sigma_j^2} {\sigma_X^2} \right), \]

em que \(\sigma_j^2\) é a variância do item \(j\) e \(\sigma_X^2\) é a variância do escore total (Cronbach, 1951).

O alfa tornou-se o coeficiente de consistência interna mais frequentemente relatado em psicologia, mas várias interpretações comuns são incorretas (Cortina, 1993; Sijtsma, 2009).

AvisoO que o alfa não informa

Um alfa elevado não demonstra que uma escala é unidimensional, não estabelece validade de construto e não significa que um escore é “90% acurado” quando \(\alpha=.90\). O alfa é influenciado pelo número de itens, pelas covariâncias entre itens e pelos pressupostos do modelo de escore. Sob tau-equivalência essencial e erros não correlacionados, o alfa pode representar a precisão do escore; quando esses pressupostos são violados, sua relação com a precisão torna-se menos direta (Graham, 2006; Sijtsma, 2009).

Uma consequência particularmente importante é que adicionar itens altamente redundantes pode aumentar o alfa sem melhorar a amplitude conceitual ou a validade do instrumento. O objetivo do desenvolvimento de escalas, portanto, não deve ser maximizar o alfa mecanicamente.

2.8 Do Alfa ao Ômega

Quando os itens são congenéricos e apresentam cargas fatoriais diferentes, um coeficiente de precisão baseado em modelo fatorial, como o ômega de McDonald, frequentemente pode fornecer uma estimativa mais apropriada da precisão do escore composto (Dunn et al., 2014; McDonald, 1999).

Uma expressão simplificada do ômega para um modelo fatorial unidimensional é

\[ \omega = \frac{\left(\sum_{j=1}^{k}\lambda_j\right)^2 \sigma_F^2} { \left(\sum_{j=1}^{k}\lambda_j\right)^2\sigma_F^2 + \sum_{j=1}^{k}\theta_j }, \]

em que \(\lambda_j\) são cargas fatoriais, \(\sigma_F^2\) é a variância do fator e \(\theta_j\) são variâncias de erro.

O ômega não é simplesmente “um alfa melhor” em todas as circunstâncias. Ele depende de um modelo de mensuração, e sua interpretação depende da adequação desse modelo. Conceitualmente, isso também significa que o ômega começa a ultrapassar a estrutura mais simples da TCT e se aproximar dos modelos de variáveis latentes discutidos mais adiante neste livro (Dunn et al., 2014; McDonald, 1999).

2.9 Erro Padrão de Medida

A precisão é uma razão de variâncias em nível populacional. Na avaliação psicológica, contudo, muitas vezes queremos saber quanta incerteza envolve um escore observado individual.

O erro padrão de medida (EPM; standard error of measurement, SEM) expressa o erro de mensuração na métrica do teste (Harvill, 1991):

\[ SEM = SD_X\sqrt{1-\rho_{XX'}}. \]

Suponha que uma escala tenha

\[ SD_X=10 \]

e

\[ \rho_{XX'}=.84. \]

Então,

\[ SEM = 10\sqrt{1-.84} = 4. \]

Um SEM de 4 significa que o desvio padrão dos erros de mensuração é de aproximadamente quatro pontos do escore, sob os pressupostos do modelo.

2.9.1 Intervalos de confiança em torno dos escores

Um intervalo aproximado comum é

\[ X \pm z(SEM). \]

Para um intervalo de 95% baseado na teoria normal,

\[ X \pm 1.96(SEM). \]

Se um participante obtém \(X=70\) e \(SEM=4\), o intervalo aproximado é

\[ 70 \pm 1.96(4) = [62.16,\;77.84]. \]

O intervalo comunica um fato importante que frequentemente fica oculto quando se relata um único escore: escores observados são estimativas com incerteza, e não mensurações perfeitamente precisas.

Harvill (1991) também enfatiza que um único SEM pressupõe precisão de mensuração aproximadamente constante entre níveis de escore. Na prática, erros padrão condicionais podem diferir ao longo da distribuição de escores, questão particularmente importante na teoria de resposta ao item.

DicaPrecisão e SEM respondem a perguntas diferentes

Precisão: Quão bem o teste distingue pessoas em uma população?

SEM: Quanta incerteza de mensuração é expressa nas unidades do escore observado?

Um coeficiente de precisão pode, portanto, parecer impressionante enquanto o SEM permanece grande demais para uma determinada decisão em nível individual.

2.10 Comprimento do Teste e a Fórmula de Spearman–Brown

Testes mais longos frequentemente apresentam maior precisão porque itens adicionais podem aumentar a variância sistemática dos escores em relação ao erro aleatório de amostragem de itens. A fórmula profética de Spearman–Brown descreve a precisão esperada após multiplicar o comprimento do teste por um fator \(k\) (Brown, 1910; Spearman, 1910):

\[ \rho_{\text{new}} = \frac{k\rho_{\text{old}}} {1+(k-1)\rho_{\text{old}}}. \]

Suponha que um teste tenha precisão .70 e que seu comprimento seja duplicado (\(k=2\)):

\[ \rho_{\text{new}} = \frac{2(.70)} {1+(2-1)(.70)} = .824. \]

A fórmula é útil para planejamento, mas pressupõe que os itens adicionados se comportem como os itens existentes. Adicionar itens ruins, redundantes ou irrelevantes ao construto apenas para aumentar a precisão não constitui uma estratégia adequada de validação.

2.11 Análise Clássica de Itens

A TCT também pode ser usada para examinar como itens individuais contribuem para um escore (Crocker & Algina, 1986; Pasquali, 2017).

Para cada item, pesquisadores costumam examinar:

  • Média do item ou taxa de endosso. Para itens dicotômicos de desempenho, isso costuma ser interpretado como dificuldade do item. Para escalas de resposta, a média indica em que região da escala as respostas tendem a se concentrar.
  • Variância do item. Itens com quase nenhuma variabilidade de resposta pouco contribuem para diferenciar respondentes naquela amostra.
  • Correlação item–total corrigida. Correlaciona um item com o escore total calculado sem esse item. Fornece informação sobre se o item se comporta de maneira consistente com o restante do composto.
  • Precisão após exclusão do item. Pode identificar itens que se comportam de forma diferente do restante da escala, mas não deve ser utilizada como um algoritmo automático de exclusão de itens.
AvisoNão deixe a precisão escolher o construto

Excluir itens simplesmente porque o alfa aumenta pode estreitar o domínio de conteúdo e prejudicar a validade. Estatísticas dos itens devem ser interpretadas em conjunto com definições do construto, evidências de processo de resposta e o uso pretendido dos escores. Um teste psicometricamente homogêneo não é necessariamente um teste válido.

2.12 Um Exemplo Aplicado em R

O exemplo a seguir simula dez itens contínuos que compartilham um componente comum da pessoa mais erro específico do item. O código calcula o coeficiente alfa diretamente a partir de sua fórmula na TCT e, em seguida, calcula o SEM para o escore total.

set.seed(2026)

n_people <- 500
n_items <- 10

# Componente comum da pessoa
person_component <- rnorm(n_people, mean = 0, sd = 1)

# Cada item contém o componente comum mais erro específico do item
items <- replicate(
  n_items,
  person_component + rnorm(n_people, mean = 0, sd = 0.80)
)

colnames(items) <- paste0("item_", seq_len(n_items))

# Escore total
total_score <- rowSums(items)

# Coeficiente alfa pela fórmula de variância
alpha_ctt <- function(data) {
  k <- ncol(data)
  item_variances <- apply(data, 2, var)
  total_variance <- var(rowSums(data))

  (k / (k - 1)) *
    (1 - sum(item_variances) / total_variance)
}

alpha_estimate <- alpha_ctt(items)

# Erro padrão de medida
score_sd <- sd(total_score)

sem_estimate <- score_sd * sqrt(1 - alpha_estimate)

alpha_estimate
[1] 0.9397648
sem_estimate
[1] 2.527688

O exemplo é deliberadamente simples: os dados são contínuos, completos e gerados a partir de um modelo de componente comum. Dados psicológicos reais podem ser ordinais, multidimensionais, localmente dependentes ou incompletos. Nessas situações, a estimativa da precisão deve ser escolhida para corresponder ao modelo de mensuração, em vez de ser aplicada mecanicamente.

2.12.1 Visualizando a precisão como razão de variâncias

Também podemos simular duas medidas genuinamente paralelas:

set.seed(2026)

n <- 2000

T <- rnorm(n, mean = 50, sd = 10)
E1 <- rnorm(n, mean = 0, sd = 5)
E2 <- rnorm(n, mean = 0, sd = 5)

X1 <- T + E1
X2 <- T + E2

# Precisão pela decomposição de variância da TCT
reliability_variance <- var(T) / var(X1)

# Precisão estimada como a correlação entre formas paralelas
reliability_parallel <- cor(X1, X2)

reliability_variance
[1] 0.8171529
reliability_parallel
[1] 0.7745723

Com uma amostra suficientemente grande, as duas quantidades devem ser semelhantes. A simulação explicita por que a correlação entre formas paralelas pode estimar a precisão: ambas as formas compartilham o mesmo componente de escore verdadeiro enquanto seus erros são independentes.

2.13 O que a TCT Pode — e Não Pode — nos Dizer

A TCT continua útil porque fornece uma linguagem compacta para raciocinar sobre a precisão dos escores. Sua simplicidade também é a origem de várias limitações.

A TCT pode nos ajudar a perguntar… A TCT, sozinha, não pode estabelecer…
Quanta variância do escore observado está associada ao erro de mensuração? Qual construto psicológico o escore realmente representa
Com que consistência um escore distingue pessoas nesta população? Que a interpretação do escore é válida
Quanta incerteza envolve um escore observado? Que a precisão da mensuração é igual em todos os níveis do traço
Como o comprimento do teste pode afetar a precisão? Que itens adicionais melhoram a representação do construto
Quais itens se comportam de maneira consistente com um composto? Que os itens são unidimensionais ou produzidos causalmente por uma única variável latente

Uma limitação particularmente importante é que a TCT é principalmente centrada no escore do teste. Características dos itens e das pessoas não são separadas da mesma maneira que na teoria de resposta ao item. A precisão e as estatísticas dos itens podem, portanto, mudar entre populações, e o modelo não descreve diretamente como a precisão da mensuração varia ao longo de um contínuo de traço latente.

Ao mesmo tempo, modelos mais complexos não eliminam os problemas fundamentais discutidos em Capítulo 1. Um modelo fatorial ou de TRI pode fornecer uma representação mais rica da mensuração, mas o ajuste estatístico, por si só, ainda não pode estabelecer o que os respondentes compreenderam, se o conteúdo do teste representa adequadamente o construto ou se a interpretação resultante do escore é defensável.

2.14 Considerações Finais

O insight mais importante da TCT não é a equação \(X=T+E\) em si, mas o reconhecimento de que um escore observado é uma mensuração imperfeita. A precisão formaliza a contribuição relativa do erro de mensuração para a variabilidade dos escores, enquanto o SEM traduz essa incerteza de volta para a métrica utilizada na interpretação de escores individuais.

A estrutura também impõe uma disciplina útil à interpretação dos escores. O escore verdadeiro da TCT é um escore esperado sob uma estrutura de replicação especificada — não o próprio construto psicológico. A precisão, portanto, não pode substituir a validade, e um escore altamente preciso ainda pode ser sistematicamente enviesado ou substantivamente sem significado.

Essa distinção se tornará cada vez mais importante à medida que passarmos da TCT para modelos de variáveis latentes e de mensuração em nível de item. Essas abordagens relaxam algumas restrições da TCT e permitem perguntas mais detalhadas sobre itens, pessoas e precisão da mensuração. Elas, contudo, não eliminam a necessidade de formular a pergunta central introduzida no capítulo anterior: O que este escore significa e quais evidências justificam essa interpretação?