4  Teoria da Mensuração: Por que É Possível Medir Fenômenos Psicológicos

Às vezes, em dias de luz perfeita e exata,
Quando as coisas são tão reais quanto podem ser,
Pergunto-me lentamente
Por que sequer me preocupo em atribuir Beleza às coisas.
Uma flor realmente tem beleza?
Uma fruta realmente tem beleza?
Não: elas têm apenas cor e forma
E existência.
Beleza é o nome de algo que não existe
Mas que dou às coisas em troca do prazer que elas me dão.
Não significa nada.
Então por que digo das coisas: são belas?
Sim, até eu, que vivo apenas de viver,
Sou involuntariamente visitado pelas mentiras dos homens
A respeito das coisas que simplesmente existem.
A respeito das coisas,
Como é difícil sermos apenas o que somos e não vermos nada além do visível!
— Fernando Pessoa

A representação numérica de construtos psicológicos é central para a psicometria, mas atribuir números não é automaticamente o mesmo que mensurar. A teoria da mensuração formula uma pergunta mais profunda: o que precisa ser verdadeiro a respeito de um atributo para que operações numéricas realizadas sobre seus escores sejam cientificamente significativas?

Este capítulo introduz essa questão histórica e conceitualmente. O objetivo não é substituir a modelagem psicométrica, mas esclarecer os pressupostos que tornam possíveis interpretações quantitativas.

NotaMapa do capítulo

Percorreremos seis ideias conectadas:

  1. o objetivo da psicometria;
  2. o debate histórico sobre quantidade e mensuração;
  3. o que significa uma variável ser ordenada e aditiva;
  4. mensuração conjunta aditiva (MCA);
  5. o debate sobre se a modelagem de Rasch implica mensuração; e
  6. abordagens para testar empiricamente axiomas de mensuração.

4.1 O Objetivo da Psicometria

A psicometria é o ramo da psicologia dedicado a quantificar e mensurar atributos mentais, comportamento, desempenho, sentimentos e fenômenos relacionados. Entretanto, existe uma discordância importante sobre se os procedimentos psicométricos usuais realmente estabelecem mensuração.

Como explicado por Sijtsma (2012), Michell (2000, 2004, 2008) e Kyngdon (2008b, 2008a), a prática psicométrica padrão pode ser inadequada para demonstrar que atributos psicológicos são quantitativos. Nessa perspectiva, a mensuração conjunta aditiva oferece uma base mais forte (Luce & Tukey, 1964). Sijtsma (2012) observa que levar essa posição a sério exigiria grandes mudanças na psicologia contemporânea e poderia desacelerar consideravelmente a pesquisa atual. Uma resposta razoável é perguntar se desacelerar é necessariamente indesejável quando isso melhora as bases da mensuração futura.

Por outro lado, Borsboom & Mellenbergh (2004) e Borsboom & Zand Scholten (2008) argumentam que a psicometria moderna — particularmente a teoria de resposta ao item (TRI) (Linden & Hambleton, 1997) — já fornece ferramentas úteis para a mensuração psicológica. A tensão central ocorre, portanto, entre ajustar um modelo estatístico de mensuração e demonstrar que o próprio atributo possui a estrutura quantitativa pressuposta por esse modelo.

ImportanteUma distinção a manter em mente

Um modelo estatístico pode prescrever relações numéricas entre escores. A teoria da mensuração pergunta se o atributo empírico representado de fato sustenta essas relações numéricas. São perguntas relacionadas, mas não idênticas.

4.2 Dr. Jekyll e Mr. Hyde: Mensuração e Validade

Quando mensuramos um atributo, associamos propriedades empíricas a números ou outras entidades matemáticas de modo que relações relevantes entre os objetos sejam representadas numericamente com fidelidade (Krantz et al., 1971). Na avaliação psicológica, esse problema está estreitamente conectado à validade, porque a interpretação dos escores de testes depende daquilo que essas representações numéricas são entendidas como significando (American Educational Research Association et al., 2014; Borsboom, 2005).

Como observam Bringmann & Eronen (2016), a mensuração física raramente aparece em livros, manuais ou monografias sobre mensuração e teoria da mensuração em psicologia (por exemplo, American Educational Research Association et al., 2014; Borsboom, 2005; Kline, 2000; McDonald, 1999). Na edição de 2014 dos Standards for Educational and Psychological Testing, validade é o primeiro tema discutido e é caracterizada como “a consideração mais fundamental no desenvolvimento e na avaliação de testes” (American Educational Research Association et al., 2014, p. 11). Segundo uma definição clássica, validade se refere à extensão em que um teste ou instrumento mede aquilo que pretende medir (Kline, 2000, p. 17; McDonald, 1999, p. 197), embora a teoria contemporânea da validade contenha várias formulações concorrentes (ver Newton & Shaw, 2013). Uma abordagem proeminente é o tratamento unificado da validade de Messick (Messick, 1989), que se concentra na adequação das inferências que psicólogos fazem a partir dos resultados de testes. Abordagens baseadas em argumentos desenvolvidas por Kane também definem validação como o processo de construir e avaliar argumentos baseados em evidências para interpretações e usos dos escores (Kane, 2001, 2006, 2013).

Entretanto, abordagens de validade dependem, em última instância, de alguma relação entre um construto e os escores usados para representá-lo. Isso torna a quantificação dos fenômenos psicológicos uma questão central para a pesquisa psicométrica. Argumento que a falta de fundamentos empíricos para a mensuração psicológica é o “Mr. Hyde” da psicometria, um monstro para alguns pesquisadores que, ao mesmo tempo, é “Dr. Jekyll”, uma das muitas fontes de validade dos instrumentos psicológicos. Essa visão se alinha a Michell (2000), que descreve essa forma de fazer psicometria como “patológica”.

DicaConexão com o capítulo sobre validade

A validade pergunta se interpretações e usos dos escores são justificados. A teoria da mensuração acrescenta uma pergunta mais básica: as relações empíricas representadas por esses escores justificam a estrutura numérica que utilizamos?

4.3 História da Mensuração Psicológica

Antes de acompanhar a discussão histórica em detalhe, a principal mudança pode ser resumida da seguinte forma.

Período / pensador Ideia central Relevância para a mensuração
Pitágoras e Platão A natureza é fundamentalmente matemática Incentivou a ideia de que a realidade pode ser representada quantitativamente
Aristóteles Quantidades e qualidades são tipos diferentes de atributos A estrutura aditiva distingue quantidades de qualidades
Galileu, Newton, Kant, Kelvin A matemática tornou-se cada vez mais vinculada à explicação científica Fortaleceu o imperativo quantitativo na ciência
Primeiros psicólogos O status científico passou a ser associado a experimento e mensuração A psicologia adotou métodos quantitativos de forma crescente
S. S. Stevens Mensuração é a atribuição de números segundo regras Ampliou o significado de mensuração para além da quantidade clássica
Teoria representacional da mensuração A representação numérica deve preservar a estrutura empírica Reintroduziu a questão do que torna a representação numérica significativa

O debate por trás daquilo que Michell mais tarde chamou de patologia da psicometria começou muito antes de a psicometria existir. Pitágoras é comumente associado à afirmação de que “Todas as coisas são feitas de números”. Trata-se de um pressuposto forte: sugere que a estrutura fundamental dos processos da natureza é quantitativa. Em Timeu, Platão prossegue com uma ideia semelhante, afirmando que todas as coisas são compostas pelos quatro elementos básicos (terra, fogo, ar e água), que, por sua vez, são formados por poliedros. Ele continua essa lógica, afirma que os poliedros são feitos de triângulos, que podem ser reduzidos a linhas e ângulos e, finalmente, a números.

Aristóteles ofereceu um contraponto importante a essa redução de tudo à quantidade. Ele reconheceu que existem quantidades (números, tamanhos, áreas etc.), mas também existem qualidades. Essas qualidades não são quantitativas e dizem respeito a coisas como cores e aromas. Segundo ele, essa distinção era observável: propriedades quantitativas apresentavam uma estrutura aditiva, enquanto qualidades não apresentavam tal estrutura. Assim, desenvolveu uma física qualitativa.

Essa discordância continuou entre aqueles que tratavam a natureza como fundamentalmente quantitativa e aqueles que argumentavam que nem toda propriedade possui estrutura quantitativa. Algum tempo depois, o próprio Galileu juntou-se à posição de Pitágoras e Platão:

[O universo] não pode ser lido até que tenhamos aprendido a linguagem e nos familiarizado com os caracteres em que está escrito. Ele está escrito em linguagem matemática, e as letras são triângulos, círculos e outras figuras geométricas, sem as quais é humanamente impossível compreender uma única palavra. (Galilei, 1864)

É possível perceber a marca desse discurso até hoje. Pessoas continuam afirmando que tudo pode ser expresso em termos matemáticos. Naturalmente, se numeramos tudo, associamos tudo à matemática. Mas o que está por trás dessa ideia é a afirmação de que tudo na vida é quantitativamente mensurável.

Grandes contemporâneos da mesma área de Galileu compartilhavam suas visões, como Kepler e Descartes. Contudo, não foi isso que fez a área quantitativa “vencer”, mas sim o fato de a física de Galileu ter dominado a ciência europeia, retirando o foco de sua rival, a física de Aristóteles.

Com todo esse sucesso, Galileu deu origem ao imperativo quantitativo. Com o advento das obras de Newton, que fortaleceram as perspectivas quantitativas de Galileu, um número crescente de filósofos passou a defender essa forma de pensar. Kant escreveu que

… em qualquer doutrina especial da natureza pode haver apenas tanta ciência propriamente dita quanto houver matemática nela. (Kant, 1786, p. 7)

Aqui podemos ver o nascimento da ideia de que toda ciência deve ser quantitativa. Foi apenas no século XIX que Lord Kelvin, um importante físico, expressou essas ideias de forma mais concreta:

Quando você pode medir aquilo sobre o que está falando e expressá-lo em números, sabe algo a respeito; mas quando não pode medi-lo, quando não pode expressá-lo em números, seu conhecimento é de natureza escassa e insatisfatória: pode ser o começo do conhecimento, mas você mal avançou, em seus pensamentos, ao estágio de ciência, qualquer que seja o assunto. (Thomson, 1891, p. 81)

Assim, esse discurso tornou-se um novo favorito do movimento quantitativo. Pearson, por exemplo, mais tarde repetiu esse ideal quantitativo (Pearson, 1978). Como ocorreu em muitas outras áreas que desejavam reivindicar status científico por meio do pensamento quantitativo, a psicologia não foi diferente. Quando a psicologia emergiu no século XIX, G. Fechner também foi influenciado pelas ideias da época sobre a natureza da ciência (Fechner, 1860). Fechner era físico e posteriormente se interessou por questões psicológicas, como a intensidade das sensações. Embora não tenha sido a primeira pessoa a tentar mensurar variáveis psicológicas (talvez Nicole Oresme, no século XIV, tenha feito isso antes), ele propôs métodos de mensuração.

O pensamento quantitativo continuou entre os precursores da psicologia (nesse ramo da psicologia, neste caso). O eugenista Francis Galton, que influenciou e conduziu muitos estudos em psicologia, escreveu que

… até que os fenômenos de qualquer ramo do conhecimento tenham sido submetidos à mensuração e ao número, esse ramo não pode assumir o status e a dignidade de uma ciência. (Galton, 1879, p. 147)

Seu assistente e um dos primeiros professores de psicologia, James McKeen Cattell, seguiu essa linha de pensamento:

A psicologia não pode alcançar a certeza e a exatidão das ciências físicas a menos que se apoie em uma base de experimento e mensuração. (Cattell, 1890, p. 373)

Até mesmo o criador da análise fatorial, Charles Spearman, escreveu que:

… por maior que seja a potência deste [o método experimental], ou dos métodos anteriores, há ainda outro tão vital que, na sua ausência, qualquer estudo é considerado por muitas autoridades como não científico no sentido pleno da palavra. Esse método adicional e crucial é o da mensuração. (Spearman, 1937, p. 89)

E. B. Titchener (1905, pp. xxi–xxii) e Külpe (1895, p. 11) expressaram opiniões semelhantes, argumentando que processos mentais eram mensuráveis. Poucos entre aqueles que defendiam que a psicologia era uma ciência realmente questionavam a ideia de que ela pudesse ser quantitativa. Provavelmente isso ocorria porque o status de ciência poderia ser perdido. Um psicólogo ousou fazê-lo: Franz Brentano, que se aproximou em certa medida do pensamento aristotélico.

A matemática me parece necessária para o tratamento exato de todas as ciências apenas porque atualmente encontramos, de fato, magnitudes em todo campo científico. Se houvesse um campo em que nada desse tipo fosse encontrado, uma descrição exata seria possível mesmo sem matemática. (Brentano, 1874, p. 65)

S. S. Stevens tentou resolver a tensão entre aqueles que consideravam e os que não consideravam atributos psicológicos mensuráveis. Stevens argumentou que a representação numérica não precisava estar restrita a quantidades aditivas e popularizou a tipologia de escalas nominal, ordinal, intervalar e de razão. Em várias publicações, definiu mensuração como a atribuição de números a objetos ou eventos de acordo com regras (Stevens, 1946, 1951, 1959). Essa é uma das definições de mensuração mais famosas na psicologia hoje. Ela pode ser encontrada como definição principal em milhares de livros de psicologia e psicometria.

Entretanto, sua definição é vazia de significado. Não apenas todas as coisas passam a ser mensuráveis, como tudo aquilo que pode ser numerado passa a constituir uma forma de mensuração. Além disso, a distinção entre variáveis quantitativas e qualitativas desaparece. Em outras palavras, ser quantitativa deixa de ser uma característica da própria variável e passa a ser uma questão pragmática, decidida pelo pesquisador. A definição de Stevens confunde duas práticas distintas: a) mensuração (no sentido clássico); e b) codificação numérica. Mensuração envolve a descoberta de fatos empíricos de natureza intrinsecamente numérica. Codificação numérica é simplesmente um uso cosmético, na análise e na apresentação, de algo que não é numérico. Trata-se apenas de uma representação simbólica dos fatos.

4.4 Como Avançar: Definindo Quantidade

Após esse debate histórico, a pergunta central permanece: o que é uma quantidade? O que distingue uma variável quantitativa de uma variável não quantitativa? Na estrutura clássica utilizada aqui, uma quantidade deve apresentar tanto uma estrutura de ordem quanto uma estrutura aditiva. Podemos construir essa ideia passo a passo.

Conceito Pergunta simples Exemplo
Variável Em que aspecto os objetos podem diferir? altura, cor, velocidade
Valor Qual propriedade ou relação específica está presente? 1,80 m, vermelho, 60 km/h
Ordem Os valores podem ser ordenados de maneira significativa? 6 m > 2 m
Aditividade Diferenças podem ser combinadas segundo regras consistentes? 2 m + 4 m = 6 m
NotaIdeia central

Todas as variáveis quantitativas são ordenadas, mas nem toda variável ordenada é quantitativa. O requisito adicional é uma estrutura aditiva.

O que seria uma variável? Em geral, é qualquer aspecto em relação ao qual objetos podem variar. Tamanho é uma variável, pois diferentes objetos têm diferentes tamanhos. Cor é uma variável, pois existem várias cores. Em mais detalhe, a classe de variáveis (tamanho, cor etc.) pode se apresentar apenas uma vez para cada objeto. Portanto, não tenho duas alturas ao mesmo tempo. Essa é uma condição crucial para uma variável: não possuir a mesma propriedade mais de uma vez. Naturalmente, podemos ter propriedades diferentes no mesmo objeto, como uma pessoa alta, branca e de cabelos castanhos. Temos três variáveis (altura, raça/etnia e cor do cabelo). Mas isso não é tudo que caracteriza uma variável.

Relações também formam variáveis. A diferença entre propriedades e relações é importante. Coisas possuem propriedades próprias, como o tamanho da minha caneta. Relações envolvem uma pluralidade de coisas. Se a caneta está sobre uma mesa, a situação envolve tanto a caneta quanto a mesa. Outro exemplo é a velocidade. A velocidade de \(X\) em relação a \(Y\) envolve \(X\) e \(Y\). Naturalmente, a velocidade de \(X\) em relação a \(Y\) é apenas uma. Mas também podemos ter outra velocidade, a de \(X\) em relação a \(Z\). Isso não significa que \(X\) tenha mais de uma velocidade ao mesmo tempo; significa que também existe uma relação entre os objetos \(X\), \(Y\) e \(Z\).

Outro conceito importante é o de valor: as propriedades e relações que constituem uma variável podem ser chamadas de valores dessa variável. Por exemplo, ter 6 metros de tamanho é um valor da variável tamanho. Ser mulher é um valor da variável gênero, e assim por diante. Quando dizemos que uma variável quantitativa é ordenada e aditiva, estamos dizendo que existem relações ordinais e aditivas entre os valores dessa variável.

O que constitui uma variável ordenada? Uma maneira simples é pensar que 6 metros é maior que 2 metros. Também podemos pensar em escolaridade, em que ensino superior representa mais escolaridade do que ensino médio, que, por sua vez, representa mais do que ensino fundamental. Mais concretamente, os valores das variáveis são ordenados segundo suas magnitudes. Utilizamos o símbolo \(≥\), que significa “maior que ou pelo menos igual a”, e \(>\), que significa “maior que”. O símbolo \(=\) significa “igual a” ou “identidade do valor”. Agora podemos passar à matemática.

Considere \(X\), \(Y\) e \(Z\) como três valores de uma variável \(Q\). A relação de ordem deve satisfazer três propriedades:

  1. se \(𝑋 ≥ 𝑌\) e \(𝑌 ≥ 𝑍\), então \(𝑋 ≥ 𝑍\) (essa propriedade é chamada de transitividade. Significa que, se \(𝑋\) é maior ou igual a \(Y\) e \(𝑌\) é maior ou igual a \(𝑍\), então \(𝑋\) deve ser maior ou igual a \(Z\), dadas as primeiras relações mencionadas).

  2. se \(𝑋 ≥ 𝑌\) e \(𝑌 ≥ 𝑋\), então \(𝑋 = 𝑌\) (também chamada de antissimetria. Significa que, se cada valor é maior ou igual ao outro, então eles devem ser iguais).

  3. ou \(𝑋 ≥ 𝑌\) ou \(𝑌 ≥ 𝑋\) (chamada de conexidade forte; um valor deve ser maior que o outro ou ambos devem ser iguais).

Uma relação que satisfaz essas três propriedades é chamada de ordem simples. Assim, \(Q\) é ordinal quando \(≥\) forma uma ordem simples sobre seus valores. Novamente, ordem é necessária para quantidade, mas não é suficiente; também precisamos de aditividade.

A aditividade é representada por uma relação ternária como \(X + Y = Z\). Para uma variável ordenada \(Q\), a estrutura aditiva utilizada aqui exige as seguintes propriedades:

  1. \(X + (𝑌 + 𝑍) = (𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍\) (associatividade; isto é, a forma de agrupar a soma não altera o valor resultante).

  2. \(𝑋 +𝑌 = 𝑌 +𝑋\) (comutatividade; isto é, a ordem dos operandos não altera o resultado final).

  3. \(𝑋 ≥ 𝑌\) se e somente se \(𝑋 + 𝑍 ≥ 𝑌 + 𝑍\) (monotonicidade; isto é, se adicionarmos o mesmo valor a ambos os lados, em \(𝑋\) e \(𝑌\), sua ordem permanece na mesma direção, com \(𝑋\) maior ou igual a \(𝑌\)).

  4. Se \(𝑋 ≥ 𝑌\), então existe um valor \(𝑍\) que torna \(𝑋 = 𝑌 + 𝑍\) (solubilidade; isto é, se um valor \(𝑋\) é maior que o valor \(𝑌\), existe um terceiro valor \(𝑍\) que, somado a \(𝑌\), o torna igual a \(𝑋\)).

  5. \(𝑋 + 𝑌 ≥ 𝑋\) (positividade; se \(X\) é aumentado por um valor \(𝑌\), o resultado deve ser maior que o valor original de \(𝑋\), dado que são variáveis ordinais).

  6. existe um número natural \(n\) tal que \(n𝑋 ≥ 𝑌\) (em que \(1𝑋 = 𝑋\) e \((𝑛+1)𝑋 = 𝑛𝑋+𝑋\); condição arquimediana; significa que nenhum valor \(𝑌\) da variável é infinitamente maior que qualquer outro valor \(𝑋\)).

Em conjunto, as três condições de ordenação e as seis condições aditivas descrevem a estrutura da variável. Elas não descrevem, por si só, o comportamento dos objetos que possuem valores nessa variável.

ImportantePor que isso importa em psicometria

Um escore pode ser codificado numericamente sem que se estabeleça que o atributo representado pelo escore satisfaz essas condições estruturais. A questão da teoria da mensuração vem antes de perguntar se um modelo estatístico se ajusta aos dados observados.

Assim, uma medida não depende apenas de aditividade. Uma crítica importante de Michell diz respeito ao fato de psicometristas não avaliarem adequadamente seus modelos no nível da teoria da mensuração. Como resultado, pressupõem muitas coisas que podem ou não ser verdadeiras e que exigem teste ou teorização sobre as medidas criadas. Se psicometristas realmente avaliassem o nível de mensuração de suas variáveis, isso já contribuiria para resolver o problema da psicometria “patológica”. Não podemos continuar pressupondo aquilo que pode ser testado ou, ao menos, teorizado de maneira mais concreta.

4.5 Mensuração Conjunta Aditiva

A apresentação da mensuração conjunta aditiva (MCA) a seguir acompanha Michell (2014). Luce & Tukey (1964) propuseram a MCA como uma forma de estabelecer estrutura quantitativa sem exigir concatenação física. Em vez de literalmente unir objetos, a MCA avalia se relações ordinais entre combinações de variáveis se comportam como deveriam caso exista uma estrutura quantitativa subjacente. Isso é particularmente relevante para a psicologia, em que operações de concatenação muitas vezes não estão disponíveis, embora comparações ordinais sejam comuns.

NotaMCA em uma frase

Se a ordenação observada dos resultados satisfaz axiomas específicos, pode ser possível representar numericamente as variáveis subjacentes de forma aditiva.

A teoria se refere ao tipo de situação em que uma variável quantitativa, \(P\), é uma função não interativa de duas outras variáveis, \(A\) e \(X\). A expressão “não interativa” pode ser entendida como “aditiva” ou “multiplicativa”, embora, na verdade, seja mais geral que isso. Isso significa que a teoria da mensuração conjunta se refere a situações como \(P = A + X\) ou \(P = A * X\). Sua aplicação é especificamente voltada aos casos em que nem \(P\), nem \(A\), nem \(X\) já estão quantificados. Isso exige que:

  1. a variável \(P\) tenha um número infinito de valores;

  2. \(P = f(A, X)\) (em que \(f\) é alguma função matemática);

  3. exista uma ordem simples sobre os valores de \(P\); e

  4. os valores de \(A\) e \(X\) possam ser identificados (isto é, objetos possam ser classificados de acordo com o valor de \(A\) e de \(X\)).

Chamemos um sistema que satisfaz (i)-(iv) de sistema conjunto. Se \(≥\) em \(P\) satisfaz três condições especiais, então segue que:

  1. \(P\), \(A\) e \(X\) são quantitativos; e
  1. \(f\) é uma função não interativa.

As três condições especiais são:

  1. Duplo Cancelamento;

  2. Solubilidade; e

  3. Condição Arquimediana.

Suponha que \(P\) seja o desempenho em alguma tarefa (por exemplo, o tempo necessário para percorrer um labirinto), \(A\) seja motivação e \(X\) seja a quantidade de prática prévia. Naturalmente, seria simples ordenar os desempenhos e classificar os participantes segundo a motivação (por exemplo, duração da privação de alimento ou água) e o número de tentativas de prática anteriores.

Sistemas conjuntos desse tipo podem ser visualizados facilmente como uma matriz em que as linhas são valores de \(A\), as colunas são valores de \(X\) e as células são valores de \(P\). Sejam \(a\), \(b\), \(c\),… valores de \(A\); \(x\), \(y\), \(z\),… valores de \(X\); e, como \(P=f(A,X)\), os pares \(ax\), \(ay\),…, \(cy\), \(cz\),… denotam valores (possivelmente idênticos) de \(P\). Uma matriz desse tipo é representada esquematicamente em Figura 4.1 para facilitar a compreensão visual das condições (1)-(3).

Figura 4.1: Representação esquemática de uma matriz de mensuração conjunta: … \(a\), \(b\), \(c\) … são valores da variável \(A\); … \(x\), \(y\), \(z\) … são valores da variável \(X\); e … \(ax\), \(ay\), …, \(cy\), \(cz\) … são valores da variável \(P\) (\(ax\) é simplesmente o valor de \(P\) produzido pela conjunção de \(a\) e \(x\), e assim por diante).

4.5.1 Duplo Cancelamento

A condição de duplo cancelamento afirma que, se determinados pares de valores de \(P\) forem ordenados por \(≥\), outros pares de valores específicos também deverão ser ordenados. Ela se assemelha à condição de transitividade que \(≥\) deve satisfazer para constituir uma ordem simples. No contexto da mensuração conjunta, a transitividade de \(≥\) em \(P\) é um caso especial de duplo cancelamento.

O duplo cancelamento assume a seguinte forma. Sejam \(a\), \(b\) e \(c\) quaisquer valores de \(A\), e \(x\), \(y\) e \(z\) quaisquer valores de \(X\). Então \(≥\) em \(P\) satisfaz duplo cancelamento se e somente se

\[ ay \ge bx,\qquad bz \ge cy\quad \Longrightarrow \quad az \ge cx. \]

À primeira vista, essa condição pode parecer abstrata. Ela se torna mais fácil de visualizar quando o duplo cancelamento é compreendido como consequência do caso aditivo de uma relação não interativa entre \(P\), \(A\) e \(X\),

\[ P = A + X. \]

Dada essa relação,

\[ ay ≥ bx\ \text{se e somente se}\ a + y ≥ b + x \] \[ \text{e}\ bz ≥ cy\ \text{se e somente se}\ b + z ≥ c + y. \]

Somando as duas desigualdades do lado direito, obtemos

\[ a+y+b+z ≥ b+x+c+y \]

e, como \(b\) e \(y\) são comuns aos dois lados da desigualdade, podem ser cancelados, restando

\[a + z ≥ c + x\]

que, naturalmente, é verdadeiro se e somente se

\[az ≥ cx\].

Apesar de sua simplicidade, o duplo cancelamento é uma condição com considerável poder. Ele restringe fortemente a ordem em \(P\). Isso pode ser ilustrado em uma matriz \(3\times3\). Sejam \(a1\), \(a2\) e \(a3\) três valores de \(A\), e \(x1\), \(x2\) e \(x3\) três valores de \(X\). A matriz conjunta resultante é ilustrada em Figura 4.2.

Figura 4.2: Matriz conjunta 3 x 3

Como \(a\), \(b\) e \(c\) na condição de duplo cancelamento podem ser quaisquer valores de \(A\), \(a1\), \(a2\) e \(a3\) podem substituí-los em qualquer uma das 3! (= 6) maneiras possíveis. Da mesma forma, \(x1\), \(x2\) e \(x3\) podem substituir \(x\), \(y\) e \(z\) de seis maneiras diferentes. Isso produz 6 x 6 (= 36) instâncias diferentes de substituição da condição de duplo cancelamento na matriz 3 x 3 apresentada acima (ou em qualquer matriz conjunta 3 x 3). Essas 36 instâncias são mostradas em Figura 4.3.

Figura 4.3: Duplo Cancelamento

Elas não são todas logicamente independentes umas das outras. Estão organizadas em seis conjuntos diferentes, cada um com seis instâncias. Dentro de cada conjunto, as relações de ordem relevantes ocorrem entre os mesmos três valores de \(P\) (ou células da matriz). Setas são usadas para indicar essas relações (isto é, \(ax ≥ by\) é representado por \(ax\) -> \(by\)); setas de linha simples representam as ordens antecedentes e setas de linha dupla representam a ordem consequente.

Dentro de cada conjunto de seis, se uma das instâncias de duplo cancelamento for verdadeira, todas serão. Entre conjuntos, entretanto, as instâncias de duplo cancelamento são logicamente independentes. Assim, em qualquer matriz 3 x 3 existem seis testes independentes da condição de duplo cancelamento. A condição é falsa se, em qualquer um dos diagramas mostrados na figura acima, as relações de ordem antecedentes forem válidas enquanto a consequente não for; caso contrário, são satisfeitas. Evidentemente, satisfazer o duplo cancelamento em uma matriz conjunta, mesmo uma de 3 x 3, não é uma questão trivial e pode ser computacionalmente exigente.

4.5.2 Solubilidade

A condição de solubilidade exige que as variáveis \(A\) e \(X\) sejam complexas o suficiente para produzir qualquer valor necessário de \(P\). Formalmente, ela é apresentada da seguinte forma.

A ordem \(≥\) em \(P\) satisfaz solubilidade se e somente se (i), para quaisquer \(a\) e \(b\) em \(A\) e \(x\) em \(X\), existe um valor de \(X\) (chamemo-lo \(y\)) tal que \(ax = by\) (isto é, tanto \(ax ≥ by\) quanto \(by ≥ ax\)); e (ii), para quaisquer \(x\) e \(y\) em \(X\) e \(a\) em \(A\), existe um valor de \(A\) (chamemo-lo \(b\)) tal que \(ax = by\). Em outras palavras, dados \(a\), \(b\), \(x\) e \(y\), existe um valor que torna a equação

\[ ax = by \]

solúvel.

Pensando em termos da relação \(P = A + X\), a solubilidade implica que os valores de \(A\) e \(X\) sejam igualmente espaçados (como os números naturais) ou densos (como os números racionais).

4.5.3 Condição Arquimediana

Como já explicado, a condição arquimediana garante que nenhum valor de uma quantidade variável seja infinitamente maior que qualquer outro valor. Seu significado aqui é essencialmente o mesmo, embora, neste contexto, sua expressão seja um pouco mais complexa. Pensando novamente em termos de \(P = A + X\), uma ideia geral de seu conteúdo pode ser formulada da seguinte maneira. A mensuração conjunta permite quantificar diferenças entre os valores de \(A\), entre os valores de \(X\) e entre os valores de \(P\). Limitando a atenção a \(A\), a condição arquimediana significa que nenhuma diferença entre quaisquer dois valores de \(A\) é infinitamente maior que a diferença entre quaisquer outros dois valores de \(A\).

4.6 A História da Análise Taxométrica

O método taxométrico introduzido por Meehl (1995) foi desenvolvido para ajudar pesquisadores a avaliar se a estrutura latente subjacente aos dados observados é mais bem caracterizada como categórica ou contínua (Ruscio et al., 2007). Em termos simplificados, procedimentos taxométricos examinam se o padrão observado é mais compatível com uma dimensão latente contínua ou com uma ou mais categorias latentes (Franco, 2021).

Ruscio & Kaczetow (2009) mostraram, por meio de estudos de simulação, que índices de ajuste baseados em comparação de curvas podem discriminar estruturas dimensionais de categóricas com alta acurácia sob as condições estudadas. Entretanto, uma meta-análise de estudos taxométricos publicados encontrou uma tendência a conclusões dimensionais, e não categóricas (Haslam et al., 2012). Algumas limitações da taxometria dizem respeito tanto à sua interpretação estatística quanto à sua relação com a teoria da mensuração. Por exemplo, a estrutura de covariância pode criar equivalências entre determinadas representações de classes latentes e de fatores (Gibson, 1959), o que pode tornar a análise taxométrica não falsificável. Além disso, esse método não incorpora desenvolvimentos posteriores da teoria contemporânea da mensuração, como o teste de pressupostos da MCA dentro da teoria psicométrica.

4.7 A Modelagem de Rasch Implica Mensuração?

Para derivar uma representação numérica de variáveis psicológicas, uma série de análises foi desenvolvida. Ainda assim, a mensuração conjunta teve pouco impacto na construção desses modelos psicométricos (Cliff, 1992; Narens & Luce, 1993; Ramsay, 1975, 1991; Schwager, 1991). Um modelo é especialmente relacionado à mensuração conjunta: o modelo de Rasch (Rasch, 1960).

Mensuração conjunta aditiva Modelagem de Rasch
Começa com axiomas relativos à ordem empírica e à aditividade Começa com um modelo probabilístico de resposta
Pergunta se uma representação quantitativa é justificada Pergunta se as respostas observadas são compatíveis com o modelo
Não exige uma curva específica de resposta ao item Especifica uma relação funcional particular entre parâmetros de pessoa e item
Estabelece condições representacionais se seus axiomas forem satisfeitos O ajuste do modelo, por si só, não estabelece automaticamente os axiomas da MCA

Para relacionar o modelo de Rasch à mensuração conjunta, alguns autores argumentaram por analogia com a mensuração física, uma abordagem criticada por Kyngdon (2008b). Por exemplo, Fischer (1995) concluiu que, como transformações logarítmicas produzem relações aditivas entre medidas derivadas na física, seguir-se-ia logicamente que os construtos de habilidade individual e dificuldade do item possuem complexidade adequada para sustentar teoremas de representação em números reais, essencialmente únicos salvo transformações lineares. Em essência, habilidade individual e dificuldade do item seriam consideradas estruturas aditivas apenas com base na alteração da relação entre esses construtos. Essa relação, entretanto, é sustentada por analogia à mensuração derivada por meio da noção de objetividade específica (Kyngdon, 2008b). Para afirmar que uma mensuração intervalar aditiva da habilidade da pessoa e da dificuldade do item é dada pelo modelo de Rasch (Rasch, 1960), é necessário que o pressuposto subjacente seja verdadeiro: o desempenho no teste constitui uma estrutura conjunta multiplicativa composta pela habilidade da pessoa e pela dificuldade do item. Contudo, isso não foi demonstrado em outro lugar.

Grande parte da literatura que conecta modelagem de Rasch e mensuração conjunta trata o modelo de Rasch como uma realização probabilística da mensuração conjunta (Borsboom & Mellenbergh, 2004; Karabatsos, 2001; Kline, 1998; ver também Kyngdon, 2008a). Nessa visão, dados que se ajustam ao modelo de Rasch podem sustentar escalonamento intervalar. Entretanto, essa afirmação é controversa. Michell (2008) enfatiza que a mensuração conjunta é formulada em termos de relações ordinais e de equivalência necessárias à quantificação, enquanto o modelo de Rasch parte de uma função probabilística de resposta. Portanto, a conexão entre as duas estruturas exige argumentação, em vez de constituir uma equivalência matemática direta (Kyngdon, 2008a). A diferença entre Rasch e a teoria da mensuração conjunta é matematicamente clara. A teoria da mensuração conjunta propõe axiomas de ordem e aditividade (Luce & Tukey, 1964), enquanto o modelo de Rasch impõe principalmente uma estrutura probabilística de ordenação sobre pessoas e itens (Borsboom & Zand Scholten, 2008).

Na prática de pesquisa padrão, quando uma pessoa ajusta um modelo de Rasch, supostamente verifica a consistência entre os dados e o modelo com axiomas de mensuração usando estatísticas de ajuste (Karabatsos, 2001). Entretanto, mesmo se pressupusermos que Rasch está testando esses axiomas, o teste com estatísticas de ajuste não é direto, pois a especificação da mensuração conjunta aditiva sob o modelo de Rasch é dependente dos dados. Isso ocorre porque a função de resposta ao item é estimada diretamente a partir dos dados, e os dados contêm ruído aleatório ou sistemático. Esse problema é ilustrado por Nickerson & McClelland (1984) e Karabatsos (2001): um modelo numérico ou probabilístico pode apresentar ajuste muito bom mesmo quando restrições relevantes da mensuração conjunta são violadas.

4.7.1 Modelos de Teoria de Resposta ao Item Representacionalmente Adequados

Scheiblechner (1995) desenvolveu o Modelo Probabilístico Ordinal Isotônico (ISOP), com correções e esclarecimentos posteriores fornecidos por Scheiblechner (1998), em parte para lidar com limitações de modelos paramétricos de mensuração mais restritivos. O ISOP opera com a premissa de que, em Psicologia Experimental ou de Testes, é comum hipotetizar uma variável ordinal antes dos experimentos, permitindo o ordenamento das reações observadas. Esse modelo é ajustado testando os axiomas I e II da teoria da mensuração conjunta aditiva e é frequentemente referido como uma abordagem probabilística estreitamente relacionada a modelos não paramétricos de resposta ao item e ao escalonamento de Mokken (Molenaar, 1991).

Diferentemente de modelos paramétricos de traço latente, o ISOP é não paramétrico, o que significa que não depende de uma família paramétrica específica, de uma forma funcional específica para a curva ou de uma distribuição prévia da habilidade latente. Ele se baseia em princípios axiomáticos, com axiomas independentes e separadamente testáveis, oferecendo testes estatísticos não paramétricos para vários modelos unidimensionais. Essa estrutura permite ao ISOP distinguir entre mau ajuste causado por multidimensionalidade do traço latente e mau ajuste causado por parametrização inadequada.

O modelo ISOP fornece uma estrutura fundamental em teoria da mensuração, enfatizando a unidimensionalidade ordinal e oferecendo algoritmos e tecnologias para desenvolvimento de testes. Ele pressupõe que as respostas sejam produzidas pela interação entre indivíduos e itens, gerando uma escala ordinal comum, mas os efeitos não são aditivos. Scheiblechner (1999) estendeu o ISOP incorporando o axioma de cancelamento (axioma III), resultando no Modelo Probabilístico Isotônico Conjunto Aditivo (ADISOP). Essa extensão permite criar duas escalas métricas ordenadas com uma unidade compartilhada para pessoas e itens, possibilitando uma representação aditiva de variáveis latentes que interagem para produzir as ordens observadas.

Embora o ADISOP compartilhe semelhanças com o modelo de Rasch, ele não prescreve uma função específica de resposta ao item. Scheiblechner (1999) sugere que comparar ISOP, ADISOP e o modelo de Rasch pode ajudar a avaliar o nível de mensuração das variáveis latentes. Esses modelos formam uma hierarquia, passando de medidas ordinais para intervalares (se ADISOP se ajustar melhor que ISOP) e de medidas intervalares com incerteza quanto à forma funcional para uma estrutura funcional forte (se o modelo de Rasch se ajustar melhor que ADISOP).

Modelo Ênfase principal Interpretação de mensuração
ISOP Estrutura probabilística ordinal Ordenamento ordinal comum
ADISOP Acrescenta requisitos de cancelamento/aditividade Sustenta uma representação aditiva quando seus axiomas são satisfeitos
Rasch Acrescenta uma forma funcional probabilística específica Estrutura paramétrica mais forte se o modelo for apropriado

4.8 O Teste Direto dos Axiomas da Mensuração Conjunta

Uma abordagem bayesiana iniciada por Karabatsos (2001) e posteriormente desenvolvida por Domingue (2014) torna possível testar axiomas da MCA. Suponha que exista uma variável latente unidimensional com uma função que relaciona as respostas das pessoas a um conjunto de itens. Considere que \(P\) seja uma matriz \(I x J\) que contém as verdadeiras probabilidades de resposta para esse conjunto de itens. Cada célula da matriz conjunta \(P^{MLE}\), com dimensões \(I x J\), contém a porcentagem de respondentes com determinada habilidade que responderam corretamente ao item correspondente.

Para determinar se os axiomas são verdadeiros para \(P\), as restrições de ordem dos axiomas de cancelamento são impostas estocasticamente por meio de um procedimento de amostragem de Metropolis–Hastings (Hastings, 1970; Metropolis et al., 1953). Domingue (2014) conduziu estudos de simulação para testar a nova abordagem, e as evidências sugerem que ela pode discriminar entre dados gerados pelo modelo de Rasch e pelo modelo 3PL. Isso é esperado, dado que o modelo de resposta ao item 3PL não segue os axiomas da mensuração conjunta aditiva.

Existe um pacote de R chamado ConjointChecks, associado a essa linha de trabalho (Domingue, 2014), que pode ser usado para testar pressupostos de cancelamento da mensuração conjunta aditiva. O pacote pode ser instalado do GitHub da seguinte forma.

Mostrar código de instalação
devtools::install_github("https://github.com/cran/ConjointChecks")
DicaComo ler esta seção

O ponto importante não é o software em si. O avanço conceitual é que os axiomas de mensuração estão sendo tratados como restrições empíricas que podem ser confrontadas com os dados, em vez de pressupostos aceitos silenciosamente porque um modelo psicométrico familiar foi ajustado.

4.9 Da Teoria da Mensuração à Comparação de Modelos: uma Abordagem Recente

As seções anteriores mostram por que a mensuração em nível intervalar não deve ser tratada como uma consequência automática de atribuir números às respostas ou ajustar um modelo psicométrico conhecido. Entretanto, permanece uma dificuldade prática: como podemos comparar uma representação ordinal com representações aditivas mais fortes usando dados comuns de respostas?

Em um estudo recente, Degobi et al. (2026) propôs uma estrutura de comparação de modelos destinada a tornar esse pressuposto empiricamente contestável. Em vez de começar por modelos que todos pressupõem uma métrica latente intervalar, a abordagem compara três modelos que representam afirmações de mensuração progressivamente mais fortes:

Modelo O que exige Interpretação do nível de mensuração
ISOP Ordenamento invariável de pessoas e itens Uma representação ordinal comum é suficiente
ADISOP Restrições do ISOP mais uma estrutura aditiva/de cancelamento As evidências são consistentes com uma representação aditiva de nível intervalar, sem fixar a forma da função de resposta
Rasch Aditividade mais uma função logística específica de resposta As evidências favorecem a representação mais forte aditiva + logística

Essa hierarquia separa duas perguntas que frequentemente são combinadas em aplicações padrão de TRI. Primeiro, a estrutura ordinal é suficiente ou os dados sustentam uma representação aditiva pessoa–item? Segundo, se a aditividade for sustentada, também há evidência para a forma funcional logística específica imposta pelo modelo de Rasch?

ImportanteA principal mudança metodológica

A pergunta deixa de ser simplesmente “O modelo de Rasch se ajusta?”. Em vez disso, o nível de mensuração torna-se parte do problema de comparação de modelos: os dados sustentam apenas uma representação ordinal, uma representação aditiva com função monotônica de resposta não especificada ou a representação de Rasch mais restritiva? (Degobi et al., 2026)

4.9.1 Comparando modelos com graus de liberdade efetivos

Uma complicação é que ISOP e ADISOP são modelos isotônicos. Sua complexidade não é convenientemente representada por uma simples contagem de parâmetros livres. Degobi et al. (2026), portanto, estimou graus de liberdade efetivos (EDF, effective degrees of freedom) usando amostras bootstrap em nível de respondente e utilizou essa quantidade como penalização por complexidade em vários critérios de informação.

Seja \(D\) o desvio de um modelo ajustado aos dados originais e \(\overline{D}_{boot}\) o desvio médio ao longo dos reajustes bootstrap. A estimativa bootstrap utilizada no estudo é

\[ EDF = D - \overline{D}_{boot}. \]

Os critérios de informação resultantes são

\[ AIC^* = D + 2(EDF), \]

\[ BIC^* = D + \log(N)(EDF), \]

e

\[ HQC^* = D + 2(EDF)\log\{\log(N)\}. \]

O estudo também examinou um análogo bootstrap do DIC usando a variabilidade dos desvios bootstrap como termo de complexidade. Esse último critério foi tratado com maior cautela porque não é o DIC posterior convencional e apresentou instabilidade computacional em algumas condições de simulação (Degobi et al., 2026).

4.9.2 O que o estudo encontrou?

A simulação gerou deliberadamente dados a partir de uma estrutura aditiva de Rasch. Foram cruzados cinco comprimentos de teste (10, 20, 30, 50 e 100 itens), três tamanhos amostrais (100, 500 e 1.000) e três formatos de resposta (2, 5 e 7 categorias), resultando em 45 condições. Cem conjuntos de dados independentes foram gerados em cada condição.

O principal resultado não foi que uma única característica do delineamento determinasse de modo confiável qual modelo seria selecionado. A seleção do modelo dependeu da combinação conjunta entre comprimento do teste, tamanho da amostra, formato de resposta e critério de informação. AIC, BIC e HQC frequentemente preferiram ADISOP para dados politômicos, o que significa que muitas vezes recuperaram a estrutura aditiva de mensuração sem exigir a forma logística mais forte do Rasch. Para alguns testes dicotômicos mais longos, entretanto, esses critérios passaram a preferir ISOP mesmo quando os dados haviam sido gerados por um modelo de Rasch. O DIC bootstrap frequentemente se comportou de maneira diferente dos demais critérios (Degobi et al., 2026).

A ilustração empírica utilizou 45 itens dicotômicos de Linguagens do Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM). Com uma amostra aleatória de 500 participantes, AIC e HQC favoreceram ISOP, enquanto BIC e o DIC bootstrap favoreceram Rasch. Com todos os 4.639 casos completos, AIC, BIC e HQC favoreceram ISOP, enquanto o DIC bootstrap continuou favorecendo Rasch (Degobi et al., 2026).

AvisoNão decida por votação da maioria

O artigo não recomenda contar quantos critérios escolhem cada modelo e declarar vencedor aquele escolhido pela maioria. A simulação mostrou que os critérios podem se comportar de maneira diferente mesmo quando a estrutura geradora verdadeira é conhecida. Concordância entre critérios constitui evidência mais forte; discordância é evidência de que a conclusão sobre o nível de mensuração é instável sob o procedimento atual.

A proposta, portanto, não deve ser interpretada como um teste definitivo capaz de provar que um atributo psicológico é quantitativo. Sua contribuição mais modesta é substituir um pressuposto que normalmente não é testado por uma comparação explícita entre representações de mensuração mais fracas e mais fortes. O artigo também enfatiza a necessidade de calibração baseada em simulação sob condições de delineamento semelhantes às da aplicação de interesse antes de fazer afirmações de alto impacto sobre o nível de mensuração (Degobi et al., 2026).

4.10 Exemplo Aplicado: Nível de Mensuração dos Itens de Amabilidade do BFI

Podemos aplicar a mesma lógica a um pequeno exemplo psicológico usando as cinco primeiras variáveis do conjunto de dados psych::bfi:

psych::bfi[, c(1:5)]

Esses são os cinco itens de Amabilidade (A1 a A5). Como A1 possui chaveamento negativo em relação aos demais itens de Amabilidade, nós o invertemos antes de ajustar um ordenamento comum pessoa–item. A escala de resposta vai de 1 a 6, de modo que a transformação para escore reverso é \(7-A1\).

NotaExemplo didático

Este exemplo pretende demonstrar o fluxo de trabalho, e não estabelecer que Amabilidade seja verdadeiramente ordinal ou intervalar. Com apenas cinco itens, o delineamento difere substancialmente de muitas condições estudadas por Degobi et al. (2026). Qualquer conclusão substantiva deve, portanto, ser sustentada por trabalho adicional de validação e, idealmente, por simulações calibradas para este delineamento específico.

4.10.1 1. Preparar os dados

Mostrar preparação dos dados
# install.packages(c("psych", "sirt"))

Data <- psych::bfi[, c(1:5)]

# A1 possui chave negativa em relação aos demais itens de Amabilidade.
Data$A1 <- 7 - Data$A1

# A análise ISOP/ADISOP abaixo usa padrões completos de resposta.
Data <- Data[complete.cases(Data), ]

# Converta para uma matriz numérica.
Data <- as.matrix(Data)
storage.mode(Data) <- "numeric"

dim(Data)
head(Data)
apply(Data, 2, table)

Antes de prosseguir, é útil inspecionar as distribuições das respostas. Categorias muito esparsas, padrões de resposta incomuns ou erros de codificação podem afetar as restrições de ordem ajustadas.

4.10.2 2. Ajustar os modelos ISOP, ADISOP e Rasch

A função sirt::isop.poly() retorna log-verossimilhanças para as representações saturada, ISOP, ADISOP e Rasch. O wrapper abaixo extrai os valores necessários para o procedimento de comparação de modelos.

Mostrar função de ajuste dos modelos
isop_wrapper <- function(data) {

  ll <- tryCatch(
    sirt::isop.poly(data)$ll[, 2],
    error = function(e) rep(NA_real_, 4)
  )

  return(ll)
}

ll_orig <- isop_wrapper(Data)

ll_orig

Os quatro valores retornados correspondem, nessa ordem, ao modelo saturado, ISOP, ADISOP e ao modelo de Rasch.

4.10.3 3. Estimar a complexidade do modelo por bootstrap

O artigo utilizou 1.000 replicações bootstrap em nível de respondente. Como isso pode levar algum tempo, o código abaixo mantém o número de replicações em um único objeto para que ele possa ser facilmente reduzido durante o aprendizado do procedimento.

Mostrar código de bootstrap
set.seed(2026)

B <- 1000L

boot_worker_isop <- function(k, data) {

  data_boot <- data[
    sample.int(nrow(data), nrow(data), replace = TRUE),
    ,
    drop = FALSE
  ]

  isop_wrapper(data_boot)
}

n_cores <- max(1L, parallel::detectCores() - 1L)
cl <- parallel::makeCluster(n_cores)

parallel::clusterEvalQ(cl, {
  library(sirt)
})

parallel::clusterExport(
  cl,
  c("isop_wrapper", "boot_worker_isop"),
  envir = environment()
)

bs_ll <- tryCatch(
  parallel::parSapply(
    cl = cl,
    X = seq_len(B),
    FUN = boot_worker_isop,
    data = Data
  ),
  finally = parallel::stopCluster(cl)
)
DicaPara uma execução rápida de prática

Ao testar o código pela primeira vez, defina B <- 100 ou B <- 200. Para uma análise substantiva, aumente o número de replicações bootstrap e examine se as conclusões de EDF e seleção de modelo são estáveis. O manuscrito utilizou 1.000 replicações bootstrap.

4.10.4 4. Calcular os critérios de informação

Agora transformamos log-verossimilhanças em desvios, estimamos graus de liberdade efetivos e calculamos AIC, BIC, HQC e o análogo bootstrap do DIC usando as mesmas fórmulas do exemplo empírico de Degobi et al. (2026).

Mostrar cálculos dos critérios de informação
# Deviances bootstrap
bs_dev <- -2 * bs_ll

# Deviances originais
Dev <- -2 * ll_orig

# Deviance bootstrap média
Dbar <- rowMeans(bs_dev, na.rm = TRUE)

# Graus de liberdade efetivos
edf <- Dev - Dbar

# Termo de complexidade baseado na variância para o DIC bootstrap
pD <- apply(bs_dev, 1, var, na.rm = TRUE) / 2

# Critérios de informação
AIC <- Dev + 2 * edf
BIC <- Dev + log(nrow(Data)) * edf
HQC <- Dev + 2 * edf * log(log(nrow(Data)))
DIC <- Dbar + pD

Results <- round(
  t(
    data.frame(
      Dev = Dev,
      Dbar = Dbar,
      edf = edf,
      pD = pD,
      AIC = AIC,
      BIC = BIC,
      HQC = HQC,
      DIC = DIC
    )
  ),
  3
)

colnames(Results) <- c(
  "Saturated",
  "ISOP",
  "ADISOP",
  "Rasch"
)

Results

O menor valor do critério de informação indica o modelo preferido para aquele critério. Podemos resumir essas seleções diretamente:

Mostrar resumo da seleção de modelos
criteria <- c("AIC", "BIC", "HQC", "DIC")
candidate_models <- c("ISOP", "ADISOP", "Rasch")

selected_model <- vapply(
  criteria,
  function(criterion) {

    values <- Results[
      criterion,
      candidate_models
    ]

    names(which.min(values))
  },
  character(1)
)

data.frame(
  Criterion = criteria,
  Selected_Model = selected_model,
  row.names = NULL
)

4.10.5 5. Interpretar o resultado como uma comparação entre afirmações de mensuração

O resultado deve ser interpretado de acordo com as restrições codificadas pelos modelos concorrentes:

  • ISOP selecionado: o critério prefere a representação ordinal comum mais fraca em relação às alternativas aditivas.
  • ADISOP selecionado: o critério fornece evidência consistente com uma representação aditiva, mas a restrição logística adicional do Rasch não é necessária.
  • Rasch selecionado: o critério favorece a representação aditiva juntamente com a forma funcional logística de Rasch.
  • Os critérios discordam: os dados não produzem uma conclusão estável sobre o nível de mensuração sob este procedimento.

Observe que nenhum desses resultados deve ser traduzido em afirmações como “foi provado que Amabilidade possui escala intervalar”. A seleção de modelos é sempre relativa às representações candidatas e às suas restrições empíricas. A principal vantagem da análise é que a distinção ordinal-versus-aditiva se torna algo que podemos examinar, em vez de algo que pressupomos silenciosamente (Degobi et al., 2026).

4.11 Considerações Finais

O argumento central deste capítulo é simples, embora a teoria não seja: usar números não é suficiente para estabelecer mensuração. Uma afirmação de mensuração exige uma relação defensável entre a estrutura de um atributo empírico e a estrutura numérica usada para representá-lo.

É por isso que a distinção entre codificação numérica e mensuração é tão importante em psicologia. Modelos psicométricos podem ser extremamente úteis, mas sua estrutura estatística não deve ser tratada automaticamente como prova de que o próprio atributo psicológico é quantitativo. A mensuração conjunta aditiva fornece uma estrutura para tornar esses pressupostos explícitos por meio de condições de ordem, cancelamento, solubilidade e condição arquimediana.

Os debates envolvendo taxometria, modelagem de Rasch, ISOP, ADISOP e testes diretos dos axiomas da mensuração conjunta retornam todos à mesma pergunta: quais evidências empíricas justificam a interpretação numérica que atribuímos aos escores psicológicos? Manter essa pergunta visível ajuda a conectar a teoria da mensuração às preocupações mais amplas sobre validade desenvolvidas anteriormente no livro e aos modelos psicométricos introduzidos nos capítulos seguintes.