3  Construtos e Variáveis Latentes em Psicometria

A psicometria não é apenas uma coleção de técnicas estatísticas. Ela também constitui uma estrutura para conectar conceitos psicológicos a dados observáveis. Este capítulo se concentra em uma das ideias mais importantes por trás da psicometria moderna: a variável latente reflexiva.

NotaMapa do capítulo

Ao final deste capítulo, você deverá ser capaz de distinguir um construto de uma variável latente reflexiva e de um indicador, explicar por que a ACP não é um modelo de variável latente, comparar representações reflexivas, formativas, de rede e de classes latentes e compreender por que alguns modelos reflexivos implicam restrições testáveis, como tétrades nulas.

3.1 Por que Variáveis Latentes Reflexivas Importam

A psicometria se ocupa da mensuração e da representação quantitativa de atributos psicológicos, comportamentos, desempenho e emoções. Problemas de mensuração, portanto, não são periféricos à ciência psicológica: se a relação entre um atributo teórico e os escores observados for mal especificada, as conclusões substantivas também podem se tornar incertas (Borsboom et al., 2004; Cronbach & Meehl, 1955; Messick, 1989).

Modelos psicométricos modernos fornecem uma linguagem para tornar essas relações mais explícitas. Eles nos obrigam a perguntar o que um escore observado representa, por que os indicadores covariam e quais pressupostos são necessários para interpretar psicologicamente essa covariação (Borsboom, 2006). Essa é uma das razões pelas quais a modelagem psicométrica é mais do que uma etapa técnica realizada após a coleta de dados: o modelo de mensuração faz parte da teoria substantiva.

DicaUm princípio recorrente neste livro

Um modelo estatístico pode se ajustar bem aos dados e ainda assim ser uma representação inadequada do fenômeno. A escolha do modelo deve decorrer da teoria substantiva e da interpretação pretendida dos escores — e não apenas dos índices de ajuste.

3.2 Dois Erros Conceituais Comuns

3.2.1 ACP não é um modelo reflexivo de variável latente

Uma fonte comum de confusão é o uso da análise de componentes principais (ACP) quando a questão de pesquisa diz respeito a variáveis latentes. A ACP é um método de redução de dados: componentes são combinações ponderadas das variáveis observadas. Ela não postula uma causa comum não observada que gere os indicadores (Bartholomew, 2004).

Isso não torna a ACP um método ruim. O problema surge quando um componente principal é interpretado como se constituísse automaticamente evidência de um atributo psicológico latente reflexivo, em vez de uma representação formativa. Se a afirmação científica diz respeito a uma variável latente, o modelo estatístico deve conter uma estrutura de variável latente que corresponda a essa afirmação.

3.2.2 Diferenças observadas entre grupos não são automaticamente diferenças no construto

Um segundo erro ocorre quando diferenças de escores observados entre grupos são interpretadas diretamente como diferenças no atributo psicológico. Tais comparações exigem pressupostos de invariância de mensuração: o modelo de mensuração deve operar de forma comparável entre os grupos que estão sendo comparados (Mellenbergh, 1989; Meredith, 1993; Millsap & Everson, 1993).

Sem essa evidência, uma diferença entre grupos em um escore observado pode refletir uma diferença no atributo-alvo, uma diferença no funcionamento do instrumento entre os grupos ou alguma combinação das duas. Essa questão é desenvolvida em detalhe no capítulo posterior sobre invariância de mensuração.

3.3 Por que Isso É Difícil na Prática

Modelos psicométricos frequentemente fazem pressupostos que são fáceis de ignorar quando apenas escores totais são analisados. Questões sobre dimensionalidade, invariância de mensuração, independência local e a interpretação causal de variáveis latentes podem rapidamente se tornar questões sobre a própria teoria do fenômeno (Borsboom, 2006).

Isso é exigente porque a modelagem estatística não pode decidir essas questões sozinha. Pesquisadores precisam de uma definição defensável do construto, de uma explicação plausível para o motivo pelo qual os indicadores deveriam se relacionar e de evidências empíricas capazes de desafiar esses pressupostos. A aparente complexidade da psicometria é, portanto, em parte uma consequência de levar a sério as afirmações de mensuração.

3.4 Construtos, Referentes e Variáveis Latentes

Conceitos científicos ajudam pesquisadores a organizar fenômenos e a se comunicar sobre eles. Seus significados dependem de regras de uso, e uma terminologia pouco clara ou instável pode dificultar a comparação ou a replicação de resultados científicos (Maraun & Peters, 2005; Schmalz et al., 2024). A psicologia utiliza muitos desses conceitos — estresse, inteligência, autoestima, depressão, bem-estar e inúmeros outros — para organizar observações e teorias.

A história da mensuração psicológica reflete um esforço para representar esses atributos quantitativamente (Michell, 2014). Entretanto, isso exige cuidado porque construtos psicológicos geralmente não são diretamente observáveis da mesma forma que o comprimento físico pode ser lido em uma régua (Michell, 2001; Trendler, 2013).

Uher (2022) descreve um construto como um sistema conceitual que agrupa referentes considerados significativamente relacionados para uma finalidade específica. Nesse sentido, um construto não é simplesmente um item de questionário ou um comportamento observado. Seguindo a tradição de Cronbach & Meehl (1955), os construtos são úteis precisamente porque organizam múltiplos referentes observáveis que não podem ser reduzidos a uma única observação direta.

ImportanteTrês coisas que não devem ser confundidas
Conceito O que é Exemplo
Construto Um sistema teórico/conceitual usado para organizar fenômenos Depressão
Indicador Uma variável observada usada para obter informação relevante ao construto Resposta a “Senti-me triste durante a maior parte do dia”
Variável latente Uma variável não observada em um modelo estatístico Um fator comum contínuo ajustado a itens de depressão

Os três podem estar relacionados, mas não são intercambiáveis.

Construtos são ferramentas conceituais, e não objetos físicos (Uher, 2023). Confundir o construto com o fenômeno que ele pretende organizar tem sido chamado de conflation entre construto e referente (construct–referent conflation) (Maraun & Gabriel, 2013). Um problema relacionado ocorre quando variáveis em um conjunto de dados são discutidas como se fossem os próprios fenômenos; Uher (2021) descreve isso como uma forma de conflation entre variável e referente.

Uma variável latente é uma ferramenta estatística — entre várias abordagens possíveis — para representar relações entre indicadores observados. A tradição do fator comum remonta a Spearman (1904), e modelos posteriores de variáveis latentes formalizaram relações entre atributos teóricos e suas medidas observadas (Bollen, 1989; Edwards & Bagozzi, 2000). Os indicadores podem ser itens de questionários, avaliações de entrevistas, observações comportamentais, medidas de desempenho ou outras variáveis observadas (DeVellis & Thorpe, 2021; Lord & Novick, 1968).

3.5 Formas de Representar um Construto

A forma como um construto é representado estatisticamente deve decorrer de uma afirmação sobre por que os indicadores estão relacionados. Quatro representações amplas são úteis de distinguir.

Representação Ideia básica Direção/estrutura Métodos típicos
Reflexiva/fator comum Uma variável latente explica a covariação entre indicadores Variável latente → indicadores AFE, AFC, muitos modelos de TRI
Composta/formativa Indicadores definem ou formam conjuntamente um composto Indicadores → composto Compostos ponderados, algumas formulações de MEE
Rede Indicadores podem influenciar ou interagir diretamente entre si Indicador ↔︎ indicador Modelos de redes psicométricas
Classe/perfil latente Um agrupamento categórico não observado explica padrões de resposta Classe latente → distribuição das respostas ACL, APL, modelos de mistura

3.5.1 Modelos reflexivos de fator comum

Em um modelo de fator comum, a covariação entre variáveis observadas é explicada por um ou mais fatores latentes. Em sua forma mais simples, o modelo pressupõe que, depois de levar em conta o fator comum, os indicadores sejam localmente independentes. Esse é um pressuposto substantivo forte, e não apenas uma convenção estatística conveniente (Bollen, 1989).

Considere sintomas de depressão maior. Um modelo fatorial reflexivo pode representar humor deprimido, alterações do sono, fadiga, problemas de concentração e outros sintomas como indicadores de uma variável latente comum. Nessa representação, a variação no fator latente explica as associações entre os sintomas.

Figura 3.1: Uma representação de fator comum dos sintomas de depressão.

3.5.2 Representações de rede

Uma teoria diferente é possível. Problemas de sono podem contribuir para fadiga, a fadiga pode contribuir para problemas de concentração e esses sintomas podem reforçar-se mutuamente. Nessa explicação, ao menos parte da covariação é produzida por relações entre os próprios indicadores, em vez de resultar exclusivamente de uma causa latente comum. Essa é a motivação básica das representações de rede da psicopatologia (Borsboom & Cramer, 2013).

Figura 3.2: Uma representação em rede na qual os sintomas podem se relacionar diretamente.
DicaTeoria primeiro

A escolha entre um modelo fatorial e um modelo de rede não é resolvida perguntando qual gráfico parece melhor ou qual modelo produz índices de ajuste mais atraentes. Os modelos fazem afirmações diferentes sobre por que as variáveis covariam. Essas afirmações devem ser motivadas teoricamente e, então, expostas a testes empíricos.

3.5.3 Representações compostas e formativas

Uma representação composta ou formativa inverte a lógica reflexiva usual: os indicadores definem conjuntamente o composto. Status socioeconômico é um exemplo comum, pois renda, escolaridade e características ocupacionais ou habitacionais podem ser combinadas para definir um índice. Alterar um indicador pode alterar o composto, em vez de ser interpretado como efeito de uma única causa comum subjacente (Edwards & Bagozzi, 2000).

A ACP também pode construir compostos ponderados, mas ACP e mensuração formativa não devem ser tratadas como sinônimos. A ACP é um método algébrico para resumir variância; uma interpretação formativa de mensuração acrescenta uma afirmação substantiva sobre o que o composto representa.

Figura 3.3: Ilustração de uma representação formativa/composta.

3.5.4 Classes e perfis latentes

A análise de classes latentes (ACL) e a análise de perfis latentes (APL) representam heterogeneidade não observada de forma categórica, e não contínua. Em vez de localizar as pessoas ao longo de um fator contínuo, esses modelos descrevem classes ou perfis não observados que diferem em seus padrões de resposta (Muthén & Muthén, 2000; Oberski, 2016). Modelos de mistura também podem conectar representações categóricas e contínuas (Loken & Molenaar, 2008). A distinção entre representações numéricas contínuas e categóricas é desenvolvida mais adiante em Capítulo 4.

3.6 Modelos Reflexivos e Interpretação Causal

A mensuração reflexiva frequentemente é escrita como se a variável latente produzisse variação em seus indicadores. Por exemplo, se a autoestima é representada reflexivamente, pressupõe-se que diferenças na variável latente gerem diferenças sistemáticas nas respostas aos itens. Essa leitura causal é explícita em algumas tradições psicométricas e implícita em muitas outras (Bollen, 1989; Bork et al., 2017).

Figura 3.4: Uma representação reflexiva de mensuração.

A lógica reflexiva aparece em muitos modelos conhecidos, incluindo o modelo de fator comum, muitos modelos de teoria de resposta ao item, modelos de crescimento latente e outras abordagens de variáveis latentes (Hambleton et al., 1991; Lord & Novick, 1968; Meredith & Tisak, 1990). Entretanto, é importante distinguir usar linguagem causal de estabelecer uma relação causal. A presença de uma seta em um diagrama de caminhos não demonstra causalidade por si só (Pearl, 2009).

Alguns autores preferem uma interpretação descritivista, na qual a variável latente é uma representação estatística parcimoniosa, e não uma causa comum real (Bork et al., 2017; Jonas & Markon, 2016). A diferença importa porque uma interpretação causal de fator comum implica mais do que um modelo de covariância com bom ajuste: implica que as associações observadas surjam de maneira compatível com a estrutura causal proposta.

ImportanteIndependência local é uma afirmação substantiva

Em um modelo reflexivo simples, espera-se que os indicadores se tornem independentes após o condicionamento na variável latente comum. Se dois itens ainda influenciarem um ao outro diretamente — por exemplo, problemas de sono causando fadiga — então o pressuposto de independência local pode falhar mesmo quando um modelo unifatorial parecer superficialmente plausível.

3.7 Tétrades Nulas: uma Implicação Testável

Uma maneira de examinar as implicações de um modelo linear de causa comum é por meio de restrições de tétrade. Os trabalhos iniciais de Spearman mostraram que um único fator comum impõe restrições à matriz de covariância (Spearman, 1904). Essas ideias foram posteriormente desenvolvidas em modelagem de equações estruturais e análise confirmatória de tétrades (Bollen, 1989; Bollen & Ting, 1993).

Uma tétrade é a diferença entre dois produtos de covariâncias. Para quatro variáveis observadas, um exemplo é

\[ \tau_{1234} = \sigma_{12}\sigma_{34} - \sigma_{13}\sigma_{24}. \]

Uma tétrade é nula quando essa diferença é zero na população. Em um modelo unifatorial simples com quatro indicadores e resíduos independentes, várias dessas restrições são implicadas. Elas são úteis porque constituem consequências observáveis do modelo, em vez de apenas afirmações sobre um fator não observado.

3.7.1 Treks e restrições de covariância

Uma maneira conveniente de compreender essas restrições é por meio de um grafo direcionado. Um caminho direcionado de \(u\) para \(v\) é uma sequência de setas apontando todas em direção a \(v\). Um trek é um caminho ou par de caminhos direcionados que conecta duas variáveis sem colisão de pontas de seta. Sob modelos lineares, regras de trek podem ser usadas para derivar as restrições de covariância implicadas por um grafo (Glymour et al., 2014; Glymour & Scheines, 1986).

Figura 3.5: Exemplo de um trek.

Cada trek válido contribui para a covariância entre duas variáveis. Em um modelo linear padronizado, a contribuição de um trek é obtida pelo produto dos coeficientes ao longo desse trek; a covariância é a soma das contribuições dos treks disponíveis.

Figura 3.6: Como treks contribuem para uma correlação observada.

Para o modelo ilustrado, suponha que as correlações padronizadas implicadas pelos caminhos sejam

\[ \begin{aligned} \rho_{uw} &= ab, & \rho_{ux} &= acd, & \rho_{uy} &= ace,\\ \rho_{xy} &= de, & \rho_{wy} &= bce, & \rho_{wx} &= bcd. \end{aligned} \]

Então, o modelo implica

\[ \rho_{ux}\rho_{wy}=\rho_{uy}\rho_{wx}. \]

Adicionar um caminho direto que altere um dos lados dessa relação pode destruir a igualdade. A tétrade funciona, portanto, como uma implicação testável do grafo especificado.

3.7.2 Tétrades em um modelo unifatorial

Considere um modelo unifatorial com quatro indicadores padronizados. Se as cargas fatoriais forem \(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4\) e os resíduos forem mutuamente independentes, então

\[ \rho_{12}=\lambda_1\lambda_2, \qquad \rho_{34}=\lambda_3\lambda_4, \]

e de modo análogo para os demais pares. Consequentemente,

\[ \rho_{12}\rho_{34} = \rho_{13}\rho_{24} = \rho_{14}\rho_{23}. \]

Figura 3.7: O modelo de mensuração reflexivo usado para ilustrar restrições de tétrade.

A ideia importante não é que uma tétrade nula prove que uma variável latente causa os indicadores. Em vez disso, o modelo proposto implica restrições sobre covariâncias observáveis. Se a matriz de covariância populacional violar essas restrições, o modelo simples não pode estar exatamente correto. Se as restrições forem compatíveis com os dados, o modelo permanece plausível sob os pressupostos usados para derivá-las (Bollen & Ting, 1993; Glymour et al., 2014).

AvisoCompatibilidade não é prova de causalidade

Tétrades nulas podem descartar algumas estruturas de covariância, mas não estabelecem de forma única um fator comum causal. Diferentes modelos causais podem, em alguns casos, implicar as mesmas restrições observacionais. Tétrades devem, portanto, ser interpretadas como uma fonte de evidência sobre a estrutura do modelo, e não como uma prova causal isolada.

Outras restrições testáveis podem envolver covariâncias zero, covariâncias iguais, correlações parciais zero, restrições de igualdade ou relações polinomiais de ordem superior. Tétrades são especialmente importantes em modelos com múltiplos indicadores porque surgem naturalmente de estruturas simples de fator comum (Glymour & Scheines, 1986). Abordagens relacionadas para avaliar as implicações causais de modelos fatoriais são discutidas por Franco et al. (2023).

3.7.3 Tétrades Nulas em R

O exemplo a seguir usa quatro itens de Abertura do conjunto de dados bfi do pacote psych. O objetivo não é provar que Abertura é uma variável latente causal. Em vez disso, perguntamos se essas variáveis observadas são compatíveis com as restrições de tétrade implicadas por uma estrutura simples de fator comum.

O pacote CauseAndCorrelation contém uma função vanishing.tetrads(). Se o pacote puder ser instalado em seu ambiente R, o fluxo de trabalho é:

# install.packages("devtools")
# devtools::install_github("BillShipley/CauseAndCorrelation")

library(CauseAndCorrelation)
?vanishing.tetrads

Como a disponibilidade de pacotes pode mudar ao longo do tempo, a função utilizada neste exemplo é incluída abaixo para que a lógica do tutorial permaneça reproduzível.

Mostrar a função vanishing.tetrads()
vanishing.tetrads<-function (dat, sig = 0.05) 
{
    get.3.equations <- function(tet.vector) {
        mat <- matrix(NA, ncol = 8, nrow = 3)
        mat[1, ] <- cbind(tet.vector[1], tet.vector[2], tet.vector[3], 
            tet.vector[4], tet.vector[1], tet.vector[4], tet.vector[2], 
            tet.vector[3])
        mat[2, ] <- cbind(tet.vector[1], tet.vector[3], tet.vector[2], 
            tet.vector[4], tet.vector[1], tet.vector[4], tet.vector[2], 
            tet.vector[3])
        mat[3, ] <- cbind(tet.vector[1], tet.vector[3], tet.vector[2], 
            tet.vector[4], tet.vector[1], tet.vector[2], tet.vector[3], 
            tet.vector[4])
        mat
    }
    test.stat <- function(dat, triplet) {
        t.vars <- sort(triplet[1:4])
        r <- var(dat, na.rm = T)
        tao <- r[triplet[1], triplet[2]] * r[triplet[3], triplet[4]] - 
            r[triplet[5], triplet[6]] * r[triplet[7], triplet[8]]
        D13 <- det(r[c(triplet[1], triplet[3]), c(triplet[1], 
            triplet[3])])
        D24 <- det(r[c(triplet[2], triplet[4]), c(triplet[2], 
            triplet[4])])
        D <- det(r[triplet[1:4], triplet[1:4]])
        N <- dim(dat)[1]
        tao.var <- (D13 * D24 * (N + 1)/(N - 1) - D) * (1/(N - 
            2))
        if (tao.var <= 0) {
            cat("triplet: ", triplet, "\n")
            cat("variance of tao is ", tao.var, "\n")
            cat("tao.var<=0. D=", D, "D13=", D13, "D24=", D24, 
                "\n")
            stop()
        }
        z <- tao/sqrt(tao.var)
        list(triplet = triplet, VCV = r, tao = tao, tao.var = tao.var, 
            z = z, prob = 2 * (1 - pnorm(abs(z))))
    }
    get.choke.points <- function(vec) {
        tetrad <- matrix(vec, ncol = 2, byrow = T)
        all.comb <- cbind(c(vec[1], vec[1], vec[1], vec[2], vec[2], 
            vec[3]), c(vec[2], vec[3], vec[4], vec[3], vec[4], 
            vec[4]))
        chokes <- rep(T, 6)
        for (j in 1:4) {
            for (i in 1:6) {
                if (sum(tetrad[j, ] == all.comb[i, c(1, 2)]) == 
                  2) 
                  chokes[i] <- F
                if (sum(tetrad[j, ] == all.comb[i, c(2, 1)]) == 
                  2) 
                  chokes[i] <- F
            }
        }
        list(tetrad = tetrad, all.comb = all.comb, choke.points = all.comb[chokes, 
            ])
    }
    nvars <- dim(dat)[2]
    tetrad.quadriplets <- combn(1:nvars, 4)
    ntetrads <- dim(tetrad.quadriplets)[2]
    z <- prob <- rep(NA, ntetrads * 3)
    count <- 0
    for (i in 1:ntetrads) {
        triplets <- get.3.equations(tetrad.quadriplets[, i])
        for (j in 1:3) {
            count <- count + 1
            temp <- test.stat(dat, triplets[j, ])
            z[count] <- temp$z
            prob[count] <- temp$prob
            if (prob[count] <= sig) 
                cat("triplet:", triplets[j, ], " does not vanish (p=", 
                  prob[count], ") \n\n")
            if (prob[count] > sig) {
                chokes <- get.choke.points(triplets[j, ])
                cat("triplet:", triplets[j, ], "  vanishes (p=", 
                  prob[count], ") \n")
                cat("If there is a saturated dependency graph for the four variables (via EPA):", 
                  triplets[j, 1], triplets[j, 2], triplets[j, 
                    3], triplets[j, 4], "\n")
                cat("then there is at least one latent common cause of either (", 
                  chokes$choke.points[1, 1], ",", chokes$choke.points[1, 
                    2], ") and/or of (", chokes$choke.points[2, 
                    1], ",", chokes$choke.points[2, 2], ")\n\n")
            }
        }
    }
}

A função avalia cada conjunto único de quatro variáveis e testa as equações de tétrade correspondentes. Aqui usamos quatro itens de Abertura:

# Instale uma vez, se necessário
# install.packages("psych")
dat <- psych::bfi[, c("O1", "O2", "O3", "O4")]
summary(dat)
       O1              O2              O3              O4       
 Min.   :1.000   Min.   :1.000   Min.   :1.000   Min.   :1.000  
 1st Qu.:4.000   1st Qu.:1.000   1st Qu.:4.000   1st Qu.:4.000  
 Median :5.000   Median :2.000   Median :5.000   Median :5.000  
 Mean   :4.816   Mean   :2.713   Mean   :4.438   Mean   :4.892  
 3rd Qu.:6.000   3rd Qu.:4.000   3rd Qu.:5.000   3rd Qu.:6.000  
 Max.   :6.000   Max.   :6.000   Max.   :6.000   Max.   :6.000  
 NAs    :22                      NAs    :28      NAs    :14

Agora, avalie as tétrades:

vanishing.tetrads(dat, sig = 0.05)
triplet: 1 2 3 4 1 4 2 3   vanishes (p= 0.4600686 ) 
If there is a saturated dependency graph for the four variables (via EPA): 1 2 3 4 
then there is at least one latent common cause of either ( 1 , 3 ) and/or of ( 2 , 4 )

triplet: 1 3 2 4 1 4 2 3  does not vanish (p= 0.03361732 ) 

triplet: 1 3 2 4 1 2 3 4   vanishes (p= 0.1174989 ) 
If there is a saturated dependency graph for the four variables (via EPA): 1 3 2 4 
then there is at least one latent common cause of either ( 1 , 4 ) and/or of ( 3 , 2 )

Se pelo menos uma tétrade implicada for estatisticamente incompatível com zero, a estrutura de covariância observada não é plenamente consistente com todas as restrições dessa representação fatorial simples. A conclusão inversa deve ser mais cautelosa: não rejeitar uma tétrade não prova que exista uma causa latente comum.

3.8 Considerações Finais

Variáveis latentes são poderosas porque permitem que pesquisadores conectem atributos teóricos não observados a padrões nos dados observados. Mas esse poder decorre de pressupostos. Um modelo de fator comum, um modelo de rede, um composto e um modelo de classes latentes podem todos resumir o mesmo conjunto amplo de indicadores enquanto fazem afirmações muito diferentes sobre por que esses indicadores estão relacionados.

A lição central, portanto, é manter construtos, indicadores observados e variáveis latentes estatísticas conceitualmente distintos. O modelo deve ser selecionado porque seus pressupostos são defensáveis para o fenômeno e a interpretação pretendida — não simplesmente porque se trata de uma rotina psicométrica familiar.

Nos capítulos seguintes, a análise fatorial exploratória e a análise fatorial confirmatória fornecerão ferramentas práticas para estudar a estrutura latente. As questões conceituais introduzidas aqui permanecem relevantes ao longo de todo o livro: O que a variável latente representa? Por que os indicadores deveriam covariar? E quais implicações observáveis tornariam essa representação cientificamente crível?