5  Análise Fatorial Exploratória

A Análise Fatorial Exploratória (AFE) é uma das ferramentas mais utilizadas para estudar a estrutura interna de medidas psicológicas e educacionais. Seu principal objetivo é examinar se as correlações entre um conjunto de variáveis observadas podem ser representadas por um número menor de fatores comuns não observados (Fabrigar et al., 1999; Osborne, 2014).

Em termos práticos, imagine um questionário com 21 itens desenvolvido para avaliar depressão, ansiedade e estresse. Em vez de interpretar 21 variáveis separadamente, a AFE pode nos ajudar a investigar se o padrão de relações entre esses itens é consistente com um conjunto menor de dimensões latentes.

NotaMapa do capítulo

Este capítulo acompanha as principais decisões envolvidas em uma AFE:

  1. A matriz de correlações é adequada para análise fatorial?
  2. Quantos fatores devem ser retidos?
  3. Como os fatores devem ser extraídos?
  4. Como a solução fatorial deve ser rotacionada e interpretada?
  5. Como conduzir e relatar o fluxo completo de análise em R?

5.1 O que a AFE Tenta Explicar?

Uma definição útil do objetivo da AFE é avaliar a dimensionalidade de um conjunto de indicadores e identificar um número menor de fatores latentes capazes de explicar seu padrão de correlações (Osborne, 2014).

A AFE se baseia no modelo de fator comum. Nesse modelo, a covariância entre variáveis observadas é explicada por um ou mais fatores comuns, enquanto parte da variância permanece única a cada indicador.

Fonte de variância Significado
Variância comum Variância compartilhada com outros indicadores por meio dos fatores comuns
Variância específica Variância confiável específica de um indicador
Variância de erro Erro aleatório de mensuração
Variância única Variância específica + variância de erro

Para uma variável observada \(X_i\) influenciada por \(m\) fatores, o modelo de fator comum pode ser escrito como

\[ X_i = \lambda_{i1}\eta_1 + \lambda_{i2}\eta_2 + \cdots + \lambda_{im}\eta_m + \varepsilon_i, \]

em que:

  • \(\lambda_{im}\) é a carga fatorial, representando a força da associação entre o indicador \(i\) e o fator \(m\);
  • \(\eta_m\) representa o fator \(m\); e
  • \(\varepsilon_i\) representa a variância do indicador não explicada pelos fatores comuns.

Por exemplo, com cinco indicadores e três fatores:

\[ X_1 = \lambda_{11}\eta_1 + \lambda_{12}\eta_2 + \lambda_{13}\eta_3 + \varepsilon_1, \]

\[ X_2 = \lambda_{21}\eta_1 + \lambda_{22}\eta_2 + \lambda_{23}\eta_3 + \varepsilon_2, \]

\[ \vdots \]

\[ X_5 = \lambda_{51}\eta_1 + \lambda_{52}\eta_2 + \lambda_{53}\eta_3 + \varepsilon_5. \]

A questão central, portanto, não é simplesmente se os itens estão correlacionados, mas se sua covariância pode ser representada de maneira significativa por uma estrutura latente menor.

ImportanteConexão com os capítulos anteriores

Um fator é uma variável latente estatística, e não automaticamente o próprio construto psicológico. Uma solução fatorial com bom ajuste ou boa interpretabilidade contribui com evidências sobre a estrutura interna, mas, por si só, não estabelece a validade da interpretação do construto.

5.2 Por que Ela É Chamada de Exploratória?

A AFE é exploratória porque a estrutura fatorial não é completamente fixada antes da estimação do modelo. Pesquisadores investigam quantos fatores são necessários e permitem que itens tenham cargas em múltiplos fatores. Isso torna a AFE útil quando a estrutura interna de uma medida ainda está sendo desenvolvida ou avaliada (Fabrigar et al., 1999).

Isso não significa que a AFE deva ser ateórica. A teoria é necessária para definir o construto, elaborar os itens, decidir quais soluções são substantivamente plausíveis e interpretar os fatores.

Uma análise fatorial confirmatória (AFC), em contraste, começa com um modelo de mensuração especificado de forma mais explícita. Pesquisadores normalmente restringem algumas cargas ou outros parâmetros de acordo com uma estrutura teórica e avaliam se esse modelo é compatível com os dados observados (Brown, 2015).

AFE AFC
A estrutura é explorada em vez de totalmente especificada A estrutura é especificada mais explicitamente antes da estimação
Cargas cruzadas geralmente são estimadas Cargas cruzadas frequentemente são restringidas, embora não precisem ser
A retenção de fatores é uma decisão central O número e o padrão dos fatores geralmente são especificados a priori
Útil no desenvolvimento de escalas e na exploração estrutural Útil para avaliar um modelo de mensuração hipotetizado

5.3 O Fluxo de Trabalho da AFE

Uma maneira útil de organizar a AFE é como uma sequência de quatro decisões principais:

Etapa Pergunta principal
1. Adequação dos dados Há associação compartilhada suficiente entre os indicadores para justificar a busca por fatores comuns?
2. Retenção de fatores Quantos fatores devem ser retidos?
3. Extração de fatores Como a solução de fatores comuns deve ser estimada?
4. Rotação fatorial Como os fatores retidos podem ser representados de forma mais clara para interpretação?

Essas etapas estão conectadas. Uma extração tecnicamente bem-sucedida não corrige um número de fatores mal escolhido, e uma solução rotacionada de aparência simples não é útil se não tiver significado teórico.

6 1. Adequação dos Dados

Antes de extrair fatores, pesquisadores normalmente examinam se a matriz de correlações contém informação compartilhada suficiente para que a análise fatorial seja útil. Dois diagnósticos tradicionais são o teste de esfericidade de Bartlett e a medida de Kaiser–Meyer–Olkin (KMO).

DicaDiagnósticos, não testes de permissão

O teste de Bartlett e o KMO são resumos úteis, mas não devem ser tratados como portões automáticos que decidem se uma AFE é cientificamente apropriada. Com amostras grandes, o teste de Bartlett pode rejeitar desvios muito pequenos de uma matriz identidade. A matriz de correlações, as distribuições dos itens, o tamanho da amostra, a teoria do construto e o modelo pretendido também devem ser considerados.

6.1 Teste de Esfericidade de Bartlett

O teste de Bartlett avalia a hipótese nula de que a matriz de correlações populacional é uma matriz identidade (Bartlett, 1954). Uma matriz de correlações identidade apresenta uns na diagonal e zeros nos demais elementos:

\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. \]

Se essa fosse a matriz de correlações populacional, os indicadores não compartilhariam correlações para um modelo de fator comum explicar.

Uma forma frequentemente apresentada da estatística de Bartlett é

\[ \chi^2 = - \left[ (n-1)-\frac{2p+5}{6} \right] \log |R|, \]

em que:

  • \(n\) é o tamanho da amostra;
  • \(p\) é o número de variáveis;
  • \(R\) é a matriz de correlações; e
  • \(|R|\) é seu determinante.

Um resultado estatisticamente significativo indica que a matriz de correlações observada difere de uma matriz identidade (Tabachnick & Fidell, 2007).

6.2 Medida de Kaiser–Meyer–Olkin

A estatística KMO compara a magnitude das correlações observadas com a magnitude das correlações parciais (Kaiser, 1970; Kaiser & Rice, 1974). Em forma simplificada,

\[ KMO = \frac{ \sum\sum_{j\neq k} r_{jk}^{2} }{ \sum\sum_{j\neq k} r_{jk}^{2} + \sum\sum_{j\neq k} q_{jk}^{2} }, \]

em que:

  • \(r_{jk}\) é uma correlação observada entre as variáveis \(j\) e \(k\); e
  • \(q_{jk}\) é a correlação parcial entre elas.

Valores mais altos de KMO indicam que as correlações são relativamente compactas em comparação com as correlações parciais, o que é mais compatível com a modelagem por fatores comuns. Regras práticas variam. Valores abaixo de .50 costumam ser tratados como problemáticos, enquanto valores acima de .70 são frequentemente considerados mais tranquilizadores (Hair et al., 2006; Kaiser & Rice, 1974).

O KMO geral deve ser considerado juntamente com as medidas de adequação da amostragem em nível de item, porque um item problemático pode ficar oculto por uma estatística geral aceitável.

7 2. Retenção de Fatores

Quando a análise fatorial parece razoável, a próxima questão frequentemente é a mais consequente:

Quantos fatores devemos reter?

Uma decomposição matemática pode produzir muitas dimensões, mas o objetivo da AFE é identificar uma estrutura fatorial menor e substantivamente significativa. Vários métodos foram propostos.

7.1 Critério de Kaiser

O critério de Kaiser retém dimensões com autovalores maiores que 1 (Kaiser, 1960, 1970). A intuição é que uma dimensão retida deve explicar ao menos tanta variância quanto uma variável padronizada.

Embora historicamente popular, a regra do autovalor maior que um não deve, em geral, ser utilizada isoladamente. Pesquisas de simulação mostraram que ela pode tanto superestimar quanto subestimar o número de dimensões (Zwick & Velicer, 1986).

7.2 Gráfico de Sedimentação

O teste de sedimentação examina os autovalores ordenados e procura o ponto em que o declínio acentuado começa a se estabilizar — o cotovelo ou sedimentação (Cattell, 1966).

Figura 7.1: Número de fatores com base no padrão de sedimentação ou “cotovelo”.

Em Figura 7.1, um painel mostra uma mudança de inclinação relativamente visível, enquanto o outro ilustra a principal dificuldade do método: o cotovelo nem sempre é evidente. Gráficos de sedimentação são, portanto, diagnósticos visuais úteis, mas a retenção de fatores não deve depender apenas de inspeção visual.

7.3 Análise Paralela

A análise paralela, originalmente proposta por Horn (1965), compara os autovalores obtidos nos dados observados com autovalores obtidos sob uma condição de referência em que as variáveis não compartilham a estrutura fatorial presente nos dados observados.

A lógica geral é:

  1. obter os autovalores fatoriais dos dados observados;
  2. gerar repetidamente conjuntos de dados de referência nos quais as associações observadas foram removidas;
  3. obter os autovalores fatoriais de cada conjunto de dados de referência; e
  4. reter fatores cujos autovalores observados sejam maiores que os autovalores de referência correspondentes.

Em vez de comparar os autovalores observados com o valor arbitrário 1, a análise paralela pergunta se um fator explica mais variação comum do que seria esperado em dados sem a estrutura fatorial observada (Horn, 1965).

Para itens ordinais de questionários, o procedimento pode ser conduzido usando correlações policóricas em vez de correlações de Pearson. Isso mantém a análise de retenção de fatores consistente com o tratamento dos itens como variáveis categóricas ordenadas.

NotaIntuição por trás da análise paralela

Um fator observado é mais convincente quando explica mais variação comum do que esperaríamos obter simplesmente a partir de dados aleatórios.

A análise paralela geralmente apresenta melhor desempenho do que depender apenas da regra de Kaiser ou de uma decisão informal baseada no gráfico de sedimentação (Zwick & Velicer, 1986).

7.4 Teoria

Regras estatísticas de retenção são evidências, e não substitutos do raciocínio substantivo. Um fator retido também deve fazer sentido teoricamente.

Suponha que uma teoria proponha três dimensões distinguíveis de intenção comportamental e que o instrumento tenha sido deliberadamente elaborado para representar essas três dimensões. Uma análise paralela sugerindo três fatores seria especialmente informativa porque expectativas estatísticas e teóricas convergiriam. Se os procedimentos estatísticos discordarem fortemente da estrutura teórica, a própria discrepância se torna algo a ser investigado.

ImportanteNão deixe um único critério decidir a estrutura

Uma decisão defensável de retenção de fatores combina evidências estatísticas, interpretabilidade dos fatores, conteúdo dos itens e teoria substantiva. A análise paralela é útil porque fornece um ponto de referência estatístico mais forte, mas a solução final ainda exige interpretação substantiva.

8 3. Extração de Fatores

Depois de decidir quantos fatores reter, estimamos a solução de fatores comuns. O método de extração determina como essa solução é obtida a partir das correlações observadas.

Opções comuns incluem:

  • máxima verossimilhança;
  • fatoração por eixos principais;
  • métodos de resíduos mínimos;
  • mínimos quadrados generalizados;
  • mínimos quadrados não ponderados; e
  • análise fatorial de posto mínimo.

Quando variáveis contínuas são razoavelmente compatíveis com normalidade multivariada, a máxima verossimilhança apresenta propriedades estatísticas úteis, incluindo testes inferenciais e possibilidades de comparação de modelos (Fabrigar et al., 1999). Quando os pressupostos distribucionais são menos plausíveis, outros estimadores de fatores comuns podem ser mais adequados.

Para itens ordinais de questionários, a escolha da matriz de correlações também é importante. Correlações de Pearson tratam diretamente as categorias observadas como valores numéricos, enquanto correlações policóricas tentam representar a associação entre variáveis contínuas subjacentes que geram respostas categóricas ordenadas. O estimador e a matriz de correlações devem, portanto, ser selecionados em conjunto com as características de mensuração dos itens.

8.1 AFE Não É ACP

A análise fatorial exploratória é frequentemente confundida com a Análise de Componentes Principais (ACP), mas elas respondem a perguntas diferentes (Fabrigar et al., 1999).

Análise Fatorial Exploratória Análise de Componentes Principais
Modela variância comum entre indicadores Decompõe a variância observada total
Introduz fatores comuns latentes Produz compostos ponderados das variáveis observadas
Inclui um componente único para cada indicador Não separa variância comum de variância única no sentido do modelo de fator comum
Apropriada quando o objetivo é modelar estrutura latente Apropriada quando o objetivo é principalmente redução de dados ou construção de compostos
Figura 8.1: Diferença conceitual entre AFE e ACP.

A distinção também se conecta à discussão sobre modelos de variáveis latentes em Capítulo 3. A AFE geralmente recebe uma interpretação reflexiva: a variação no fator comum é usada para explicar a covariação entre seus indicadores. A ACP não exige essa interpretação de causa comum latente.

AvisoA ACP não se torna AFE porque a saída parece semelhante

Ambos os procedimentos podem produzir matrizes semelhantes a matrizes de cargas e resumos de baixa dimensionalidade. Seus objetivos matemáticos, contudo, são diferentes. Se a pergunta de pesquisa diz respeito a fatores comuns latentes, utilize um método de fator comum em vez de selecionar ACP simplesmente porque está disponível no software.

9 4. Rotação Fatorial

Depois que os fatores são extraídos, a solução inicial frequentemente é difícil de interpretar. A rotação busca uma representação equivalente em que o padrão de cargas seja mais claro.

O objetivo costuma ser alguma forma de estrutura simples: idealmente, um item apresenta uma carga relativamente forte no fator que representa e cargas pequenas nos demais.

Existem duas grandes famílias de rotação:

Rotação Relação entre fatores Exemplos Quando é útil
Ortogonal As correlações fatoriais são fixadas em zero varimax, quartimax Quando fatores não correlacionados são substantivamente defensáveis
Oblíqua Os fatores podem se correlacionar oblimin, promax Geralmente mais realista quando dimensões psicológicas podem estar relacionadas

A rotação ortogonal mantém os eixos fatoriais em 90°. A rotação oblíqua permite que os eixos se afastem de 90°, permitindo correlações entre os fatores.

Na pesquisa psicológica, pressupor que dimensões são exatamente não correlacionadas frequentemente é um pressuposto forte. Quando não existe uma razão convincente para impor ortogonalidade, uma rotação oblíqua pode ser um ponto de partida útil (Fabrigar et al., 1999).

DicaMatrizes padrão e de estrutura

Com uma rotação oblíqua, o software pode fornecer tanto uma matriz padrão quanto uma matriz de estrutura. A matriz padrão contém as cargas fatoriais semelhantes a coeficientes de regressão, enquanto a matriz de estrutura contém correlações entre variáveis e fatores. Quando os fatores se correlacionam, essas matrizes não são idênticas.

A rotação não cria um novo modelo substantivo do nada; ela modifica a orientação usada para representar o espaço fatorial retido, tornando a interpretação mais fácil. A solução rotacionada ainda precisa ser avaliada em relação à teoria, ao conteúdo dos itens, às cargas cruzadas e às correlações fatoriais.

10 Executando uma AFE em R

Usaremos o pacote psych (Revelle, 2023). O exemplo utiliza os 25 itens de personalidade do conjunto de dados bfi incluído no psych.

10.1 Instalar o Pacote

A instalação precisa ser realizada apenas uma vez.

install.packages("psych")

Depois, carregue os pacotes:

library(psych)

10.2 Preparar os Itens do BFI

Para facilitar a leitura do restante do tutorial, primeiro criamos um objeto contendo os 25 itens do BFI e removemos padrões de resposta incompletos para esta demonstração.

bfi_items <- psych::bfi[, 1:25]
bfi_complete <- na.omit(bfi_items)

dim(bfi_complete)
[1] 2436   25
NotaSobre dados ausentes

A exclusão por casos completos é usada aqui para manter o tutorial simples. Em uma análise substantiva, a quantidade e o mecanismo de dados ausentes devem ser examinados, em vez de excluir automaticamente todo participante com um único item ausente.

10.3 Adequação dos Dados em R

Como os itens do BFI são categorias ordenadas de resposta, utilizaremos consistentemente uma matriz de correlações policóricas ao longo do exemplo.

R_poly <- psych::polychoric(bfi_complete)$rho

10.3.1 Teste de Bartlett

bartlett_result <- psych::cortest.bartlett(
  R_poly,
  n = nrow(bfi_complete)
)

bartlett_result
$chisq
[1] 23262.17

$p.value
[1] 0

$df
[1] 300

Um valor de p pequeno indica que a matriz de correlações difere de uma matriz identidade. Isso fornece evidência de que existem associações não nulas disponíveis para um modelo fatorial explicar.

10.3.2 KMO

kmo_result <- psych::KMO(R_poly)

kmo_result
Kaiser-Meyer-Olkin factor adequacy
Call: psych::KMO(r = R_poly)
Overall MSA =  0.86
MSA for each item = 
  A1   A2   A3   A4   A5   C1   C2   C3   C4   C5   E1   E2   E3   E4   E5   N1 
0.77 0.84 0.88 0.88 0.91 0.86 0.80 0.86 0.84 0.87 0.84 0.89 0.90 0.88 0.90 0.78 
  N2   N3   N4   N5   O1   O2   O3   O4   O5 
0.78 0.87 0.89 0.86 0.88 0.80 0.86 0.78 0.79

A saída apresenta tanto o KMO geral quanto a medida de adequação da amostragem para cada item. Esta última é útil para identificar itens individuais que podem não compartilhar muita informação comum com o restante do conjunto de itens.

10.4 Análise Paralela em R

Como os itens do BFI são ordinais, conduziremos a análise paralela usando correlações policóricas. A função psych::fa.parallel() pode calcular essas correlações internamente especificando cor = "poly" (Revelle, 2023).

Também especificamos fa = "fa" porque nosso objetivo é determinar o número de fatores comuns, e não o número de componentes principais.

Mostrar código da análise paralela
set.seed(2026)

parallel_results <- psych::fa.parallel(
  bfi_complete,
  fa = "fa",          # parallel analysis for factors, not components
  fm = "minres",      # minimum residual factor extraction
  cor = "poly",       # polychoric correlations
  n.iter = 50,       # number of random/resampled datasets, higher is better
  quant = .95,        # compare with the 95th percentile
  sim = TRUE,        # use randomized/resampled observed data
  plot = TRUE,
  main = "Análise Paralela: Itens do BFI"
)
Parallel analysis suggests that the number of factors =  6  and the number of components =  NA
Mostrar código da análise paralela
parallel_results$nfact
[1] 6
Figura 10.1: Análise paralela policórica dos itens do BFI.

Para o BFI, a estrutura substantiva esperada contém cinco grandes dimensões de personalidade. O resultado da análise paralela pode, portanto, ser considerado juntamente com essa expectativa teórica.

10.5 Extrair os Fatores

Suponha que as evidências de retenção sustentem cinco fatores. Podemos estimar uma solução de cinco fatores usando extração por resíduos mínimos e uma rotação oblíqua:

fit <- psych::fa(
  R_poly,
  nfactors = 5,
  n.obs = nrow(bfi_complete),
  rotate = "oblimin",
  cor = "poly",
  fm = "minres"
)
Carregando namespace exigido: GPArotation

Aqui:

  1. nfactors = 5 especifica o número de fatores retidos;
  2. n.obs fornece o número de participantes;
  3. rotate = "oblimin" permite que os fatores se correlacionem;
  4. cor = "poly" utiliza correlações policóricas; e
  5. fm = "minres" utiliza extração fatorial por resíduos mínimos.

O próximo passo não é simplesmente procurar algumas cargas altas. A solução deve ser interpretada como um todo: o padrão de cargas, as cargas cruzadas, as comunalidades, as correlações fatoriais e as estatísticas de adequação do modelo fornecem informações diferentes sobre a estrutura fatorial (Fabrigar et al., 1999; Revelle, 2023).

10.6 Interpretando a Saída da Análise Fatorial

O objeto produzido por psych::fa() contém muito mais informação do que apenas a matriz de cargas fatoriais. Uma primeira apresentação útil é:

print(
  fit,
  sort = TRUE,
  cut = .30
)
Factor Analysis using method =  minres
Call: psych::fa(r = R_poly, nfactors = 5, n.obs = nrow(bfi_complete), 
    rotate = "oblimin", fm = "minres", cor = "poly")
Standardized loadings (pattern matrix) based upon correlation matrix
   item   MR4   MR1   MR3   MR5   MR2   h2   u2 com
N1   16  0.87                         0.74 0.26 1.1
N2   17  0.81                         0.66 0.34 1.0
N3   18  0.74                         0.59 0.41 1.1
N5   20  0.52                         0.40 0.60 2.1
N4   19  0.50 -0.41                   0.55 0.45 2.3
E2   12       -0.70                   0.61 0.39 1.1
E4   14        0.63                   0.60 0.40 1.5
E1   11       -0.59                   0.39 0.61 1.2
E5   15        0.45                   0.46 0.54 2.7
E3   13        0.44              0.32 0.50 0.50 2.6
C2    7              0.70             0.51 0.49 1.2
C4    9             -0.69             0.55 0.45 1.1
C3    8              0.61             0.36 0.64 1.1
C5   10             -0.60             0.49 0.51 1.4
C1    6              0.59             0.40 0.60 1.2
A2    2                    0.70       0.54 0.46 1.0
A3    3                    0.70       0.61 0.39 1.1
A5    5                    0.56       0.53 0.47 1.5
A1    1                   -0.50       0.26 0.74 1.7
A4    4                    0.47       0.35 0.65 1.9
O3   23                          0.66 0.54 0.46 1.2
O5   25                         -0.59 0.36 0.64 1.2
O1   21                          0.57 0.39 0.61 1.1
O2   22                         -0.50 0.30 0.70 1.6
O4   24       -0.37              0.44 0.35 0.65 2.6

                       MR4  MR1  MR3  MR5  MR2
SS loadings           2.83 2.49 2.39 2.35 1.96
Proportion Var        0.11 0.10 0.10 0.09 0.08
Cumulative Var        0.11 0.21 0.31 0.40 0.48
Proportion Explained  0.24 0.21 0.20 0.20 0.16
Cumulative Proportion 0.24 0.44 0.64 0.84 1.00

 With factor correlations of 
      MR4   MR1   MR3   MR5  MR2
MR4  1.00 -0.21 -0.19 -0.06 0.01
MR1 -0.21  1.00  0.25  0.32 0.15
MR3 -0.19  0.25  1.00  0.22 0.21
MR5 -0.06  0.32  0.22  1.00 0.20
MR2  0.01  0.15  0.21  0.20 1.00

Mean item complexity =  1.5
Test of the hypothesis that 5 factors are sufficient.

df null model =  300  with the objective function =  9.59 with Chi Square =  23262.17
df of  the model are 185  and the objective function was  0.92 

The root mean square of the residuals (RMSR) is  0.02 
The df corrected root mean square of the residuals is  0.03 

The harmonic n.obs is  2436 with the empirical chi square  661.08  with prob <  9.7e-55 
The total n.obs was  2436  with Likelihood Chi Square =  2225.9  with prob <  0 

Tucker Lewis Index of factoring reliability =  0.856
RMSEA index =  0.067  and the 90 % confidence intervals are  0.065 0.07
BIC =  783.25
Fit based upon off diagonal values = 0.99
Measures of factor score adequacy             
                                                   MR4  MR1  MR3  MR5  MR2
Correlation of (regression) scores with factors   0.93 0.85 0.86 0.85 0.85
Multiple R square of scores with factors          0.86 0.72 0.75 0.72 0.72
Minimum correlation of possible factor scores     0.73 0.43 0.49 0.44 0.44

sort = TRUE agrupa os itens de acordo com o fator em que apresentam a maior carga, facilitando a inspeção do padrão. cut = .30 oculta cargas menores que .30 apenas na saída impressa. Essas cargas menores ainda são estimadas e continuam fazendo parte da solução ajustada.

ImportanteInterprete o padrão, não um único ponto de corte

Valores como .30, .40 ou .50 às vezes são usados como referências descritivas para cargas fatoriais, mas não existe um valor universal que separe um item “bom” de um item “ruim”. A interpretação deve considerar a magnitude da carga, cargas cruzadas, conteúdo do item, tamanho da amostra, teoria e finalidade do instrumento.

10.6.1 Cargas Fatoriais

Uma carga fatorial descreve a relação estimada entre um indicador observado e um fator sob o modelo de fator comum. Cargas de maior valor absoluto indicam uma relação mais forte entre o item e aquele fator.

Por exemplo, imagine que parte da saída seja semelhante a esta:

        MR1   MR2   MR3   MR4   MR5
A2      .73
A3      .69
A4      .65
A5      .58

Esse padrão sugeriria que esses itens estão fortemente associados ao mesmo fator.

Um guia descritivo aproximado é:

Carga absoluta Interpretação descritiva
em torno de .20 fraca
em torno de .30 modesta
em torno de .40 moderada
.50 ou maior relativamente forte

Esses valores devem ser tratados como descrições, e não regras de decisão.

O sinal também importa. Uma carga negativa significa que maior posição no fator está associada a escores menores naquele item. Isso pode ser esperado para itens redigidos negativamente ou com chaveamento reverso se eles não tiverem sido recodificados.

10.6.2 Cargas Primárias

A maior carga absoluta de um item é frequentemente chamada de carga primária.

Por exemplo:

        MR1   MR2   MR3
item1   .71   .08   .04

Aqui, item1 apresenta uma associação primária clara com MR1.

O rótulo do fator deve vir do conteúdo dos itens. MR1 não significa, por si só, Amabilidade, Neuroticismo ou qualquer outro construto. O nome substantivo é atribuído após examinar quais itens definem o fator e como esses itens se encaixam na teoria.

10.6.3 Cargas Cruzadas

Uma carga cruzada ocorre quando um item apresenta cargas relevantes em mais de um fator.

Por exemplo:

        MR1   MR2
item1   .55   .42

Esse item está relacionado a ambos os fatores, em vez de representar claramente apenas um.

Uma carga cruzada pode indicar várias coisas:

  • o item contém conteúdo relevante para mais de um construto;
  • os fatores se sobrepõem conceitualmente;
  • a redação é ambígua;
  • a estrutura teórica é mais complexa do que o esperado; ou
  • o item realmente reflete múltiplos processos psicológicos.

Por essa razão, uma carga cruzada não constitui automaticamente evidência de que um item deve ser removido.

Uma verificação descritiva útil é a diferença entre a maior e a segunda maior carga absoluta. Compare:

Primary loading   = .61
Secondary loading = .22
Difference        = .39

com:

Primary loading   = .51
Secondary loading = .46
Difference        = .05

O primeiro item apresenta uma interpretação fatorial muito mais clara que o segundo.

AvisoNão exclua itens mecanicamente

Regras como “remova todo item com carga cruzada acima de .30” podem produzir uma escala artificialmente simples enquanto prejudicam a validade de conteúdo.

Em vez disso, pergunte:

  1. A carga secundária é substantivamente significativa?
  2. A carga primária é claramente mais forte que a secundária?
  3. O item foi intencionalmente elaborado para representar conteúdo sobreposto?
  4. Remover o item estreitaria o construto mensurado?

10.6.4 Comunalidades

psych::fa() apresenta a comunalidade de cada item na coluna h2.

A comunalidade representa a proporção da variância padronizada de um item reproduzida pelos fatores comuns retidos.

Para o item (i),

\[ h_i^2 \]

denota sua comunalidade.

Em uma solução fatorial ortogonal, a comunalidade pode ser escrita como a soma das cargas ao quadrado:

\[ h_i^2 = \lambda_{i1}^2 + \lambda_{i2}^2 + \cdots + \lambda_{im}^2. \]

Com fatores oblíquos, os fatores são correlacionados, de modo que a relação também depende da matriz de correlações fatoriais.

Suponha que um item tenha:

h2 = .64

Aproximadamente 64% de sua variância padronizada é representada pela solução de fatores comuns.

Se outro item tiver:

h2 = .15

a maior parte de sua variância não é representada pelos fatores comuns retidos. Isso pode indicar que o item está apenas fracamente conectado à estrutura fatorial, embora o conteúdo do item e sua importância teórica também devam ser considerados.

Você pode extrair as comunalidades diretamente com:

fit$communality
       A1        A2        A3        A4        A5        C1        C2        C3 
0.2601063 0.5407087 0.6055430 0.3546105 0.5306318 0.3973541 0.5055632 0.3601045 
       C4        C5        E1        E2        E3        E4        E5        N1 
0.5451009 0.4859517 0.3866555 0.6064446 0.4953139 0.6004587 0.4642264 0.7404081 
       N2        N3        N4        N5        O1        O2        O3        O4 
0.6587082 0.5925959 0.5490599 0.4023570 0.3915932 0.3010791 0.5396637 0.3499441 
       O5 
0.3604614

10.6.5 Unicidade

A coluna u2 contém a unicidade de cada indicador.

Para indicadores padronizados,

\[ u_i^2 = 1-h_i^2. \]

Assim, se

h2 = .64

então

u2 = .36

Aproximadamente 36% da variância padronizada do item permanece fora da solução de fatores comuns.

Esse componente único contém tanto variância específica do item quanto erro de mensuração.

Em R:

fit$uniquenesses
       A1        A2        A3        A4        A5        C1        C2        C3 
0.7398937 0.4592913 0.3944570 0.6453895 0.4693682 0.6026459 0.4944368 0.6398955 
       C4        C5        E1        E2        E3        E4        E5        N1 
0.4548991 0.5140483 0.6133445 0.3935554 0.5046861 0.3995413 0.5357736 0.2595919 
       N2        N3        N4        N5        O1        O2        O3        O4 
0.3412918 0.4074041 0.4509401 0.5976430 0.6084068 0.6989209 0.4603363 0.6500559 
       O5 
0.6395386

10.6.6 Complexidade Fatorial

A coluna com na saída de psych::fa() resume a complexidade fatorial.

Valores próximos de 1 indicam que um item está associado principalmente a um fator. Valores maiores indicam que seu padrão de cargas se distribui entre múltiplos fatores.

Por exemplo:

com = 1.05

sugere um padrão de cargas relativamente simples, enquanto

com = 2.20

sugere que o item está significativamente associado a mais de um fator.

O índice de complexidade é, portanto, um resumo útil do padrão de cargas, mas não deve substituir a inspeção das cargas individuais.

10.6.7 Correlações Fatoriais

Como utilizamos uma rotação oblíqua,

rotate = "oblimin"

os fatores podem se correlacionar.

A matriz de correlações fatoriais é armazenada em:

fit$Phi
             MR4        MR1        MR3        MR5         MR2
MR4  1.000000000 -0.2126722 -0.1910156 -0.0575031 0.009609556
MR1 -0.212672198  1.0000000  0.2454965  0.3157042 0.145754015
MR3 -0.191015614  0.2454965  1.0000000  0.2155756 0.207027872
MR5 -0.057503100  0.3157042  0.2155756  1.0000000 0.203959770
MR2  0.009609556  0.1457540  0.2070279  0.2039598 1.000000000

Por exemplo:

      MR1   MR2   MR3
MR1  1.00
MR2   .42  1.00
MR3   .18   .31  1.00

Uma correlação de .42 indica que os fatores estão relacionados, mas ainda representam dimensões distinguíveis.

Correlações muito altas podem levantar dúvidas sobre se dois fatores são empiricamente distintos. Correlações próximas de .80 ou .90, por exemplo, podem merecer inspeção mais cuidadosa. Isso não é um limiar universal para combinar fatores: a distinção teórica entre os construtos também importa.

NotaPor que a rotação oblíqua é útil

Construtos psicológicos frequentemente estão relacionados. Forçar suas correlações a zero com uma rotação ortogonal pode distorcer o padrão de cargas. A rotação oblíqua permite que essas relações sejam representadas diretamente.

10.6.8 Matriz Padrão e Matriz de Estrutura

Com rotação oblíqua, duas matrizes semelhantes a matrizes de cargas são relevantes.

A matriz padrão contém a relação única, semelhante a um coeficiente de regressão, de cada fator com cada item, controlando as correlações entre os fatores. As cargas impressas por psych::fa() são os coeficientes da matriz padrão usados para a interpretação primária.

A matriz de estrutura contém as correlações entre os itens e os fatores.

Quando os fatores são correlacionados, essas duas matrizes não são idênticas.

A matriz de estrutura pode ser obtida por:

structure_matrix <- unclass(fit$loadings) %*% fit$Phi

round(structure_matrix, 2)
     MR4   MR1   MR3   MR5   MR2
A1  0.18  0.00 -0.04 -0.44 -0.11
A2 -0.08  0.26  0.24  0.73  0.18
A3 -0.10  0.37  0.23  0.76  0.21
A4 -0.13  0.29  0.32  0.52 -0.02
A5 -0.21  0.47  0.23  0.66  0.21
C1 -0.04  0.11  0.60  0.15  0.29
C2  0.05  0.09  0.68  0.20  0.21
C3 -0.07  0.09  0.59  0.19  0.06
C4  0.30 -0.20 -0.72 -0.14 -0.17
C5  0.33 -0.31 -0.64 -0.15 -0.04
E1  0.05 -0.60 -0.06 -0.28 -0.18
E2  0.26 -0.76 -0.25 -0.32 -0.19
E3 -0.01  0.55  0.22  0.45  0.44
E4 -0.16  0.72  0.22  0.49  0.09
E5  0.02  0.53  0.43  0.29  0.37
N1  0.85 -0.12 -0.17 -0.15 -0.05
N2  0.81 -0.16 -0.15 -0.12  0.02
N3  0.76 -0.24 -0.18  0.00  0.01
N4  0.61 -0.50 -0.29 -0.07  0.03
N5  0.55 -0.29 -0.16  0.09 -0.16
O1 -0.03  0.21  0.23  0.18  0.61
O2  0.19 -0.04 -0.19  0.04 -0.48
O3 -0.01  0.30  0.20  0.27  0.70
O4  0.21 -0.28 -0.02  0.16  0.42
O5  0.10 -0.01 -0.16 -0.06 -0.58

Um item pode, portanto, apresentar uma carga padrão modesta em um fator, mas um coeficiente de estrutura maior porque esse fator se correlaciona com outro fator associado ao item.

Em uma solução oblíqua, a matriz padrão geralmente é a principal matriz usada para interpretar qual fator está unicamente associado a cada item.

10.6.9 Variância Explicada pelos Fatores

A saída impressa também inclui uma seção semelhante a:

                       MR1   MR2   MR3   MR4   MR5
SS loadings
Proportion Var
Cumulative Var
Proportion Explained
Cumulative Proportion

Essas quantidades ajudam a descrever a contribuição relativa dos fatores retidos.

SS loadings resumem a quantidade de variância associada às cargas de cada fator.

Proportion Var expressa essa quantidade em relação à variância padronizada total dos indicadores.

Proportion Explained expressa a contribuição de cada fator em relação à variância explicada pelos fatores retidos.

Essas estatísticas são descrições úteis da solução, mas um fator não deve ser considerado psicologicamente importante apenas porque explica mais variância que outro fator.

10.7 Adequação do Modelo

Uma matriz de cargas interpretável não é suficiente. Também devemos perguntar quão bem a solução fatorial reproduz a matriz de correlações observada.

Seja

\[ R \]

a matriz de correlações policóricas observada e

\[ \hat{R} \]

as correlações reproduzidas pelo modelo fatorial ajustado. A matriz de correlações residuais é

\[ R-\hat{R}. \]

psych::fa() apresenta várias estatísticas relacionadas a essa reprodução.

10.7.1 Correlações Residuais e RMSR

A raiz do resíduo quadrático médio (RMSR, Root Mean Square Residual) resume o tamanho médio das correlações residuais.

Valores menores de RMSR indicam que a solução fatorial retida reproduz mais de perto as correlações observadas.

Os resíduos podem ser inspecionados diretamente:

residuals(fit)
   A1    A2    A3    A4    A5    C1    C2    C3    C4    C5    E1   
A1  0.74                                                            
A2 -0.10  0.46                                                      
A3 -0.01  0.01  0.39                                                
A4  0.02  0.01  0.02  0.65                                          
A5  0.04 -0.04  0.03 -0.01  0.47                                    
C1  0.02 -0.03 -0.01 -0.05  0.04  0.60                              
C2  0.04 -0.04 -0.02  0.05  0.00  0.06  0.49                        
C3  0.03  0.04 -0.01 -0.05  0.01  0.01 -0.01  0.64                  
C4  0.09 -0.02  0.00  0.01  0.02  0.00  0.01  0.01  0.45            
C5  0.01  0.01 -0.01 -0.04  0.01  0.05  0.05 -0.02  0.05  0.51      
E1  0.07 -0.04  0.04  0.02  0.05  0.00  0.03  0.01  0.07 -0.04  0.61
E2  0.04 -0.02  0.01  0.02  0.03  0.01  0.01  0.00  0.03  0.01  0.06
E3  0.07 -0.05  0.03  0.00  0.05 -0.02  0.02  0.01  0.04 -0.02  0.04
E4  0.05 -0.05 -0.03  0.02  0.05  0.06  0.03 -0.01  0.03  0.02 -0.03
E5  0.00  0.07 -0.01 -0.02 -0.02  0.01  0.00  0.02  0.01  0.01 -0.01
N1 -0.03  0.02  0.03  0.02 -0.02 -0.04 -0.04 -0.01 -0.02 -0.04  0.00
N2 -0.03  0.05  0.03 -0.02 -0.02 -0.02 -0.03 -0.01 -0.05  0.01 -0.02
N3  0.00 -0.02 -0.01  0.02  0.00  0.01 -0.02 -0.02 -0.02 -0.02 -0.01
N4  0.01 -0.02 -0.01 -0.02  0.01  0.00  0.03  0.00  0.00  0.02  0.03
N5 -0.01 -0.01 -0.05  0.00  0.01  0.01  0.05  0.00  0.02 -0.01 -0.07
O1  0.06  0.00  0.00  0.02  0.00 -0.01  0.02  0.02  0.06  0.00  0.05
O2  0.05  0.00 -0.02 -0.02  0.02  0.02  0.04  0.03  0.06  0.05  0.03
O3  0.01 -0.03  0.00  0.01  0.01  0.00  0.05  0.00  0.05  0.00  0.00
O4  0.00  0.00 -0.03 -0.01  0.00  0.04 -0.01  0.03  0.03  0.02  0.01
O5  0.05 -0.04  0.01  0.00  0.01  0.02  0.03  0.04  0.07  0.01  0.05
   E2    E3    E4    E5    N1    N2    N3    N4    N5    O1    O2   
E2  0.39                                                            
E3  0.02  0.50                                                      
E4 -0.02  0.01  0.40                                                
E5  0.00  0.01 -0.05  0.54                                          
N1  0.01 -0.02 -0.04  0.02  0.26                                    
N2  0.02 -0.04 -0.02  0.03  0.08  0.34                              
N3 -0.04  0.01  0.01 -0.04 -0.01 -0.01  0.41                        
N4 -0.04  0.02  0.01 -0.02 -0.03 -0.05  0.06  0.45                  
N5  0.02  0.01  0.02 -0.05 -0.02 -0.04  0.03  0.03  0.60            
O1  0.03  0.05  0.01  0.04 -0.01 -0.03 -0.02  0.01 -0.02  0.61      
O2  0.02  0.04  0.03  0.03 -0.03  0.00 -0.04 -0.01  0.01  0.01  0.70
O3  0.01  0.03  0.02 -0.02  0.00 -0.02 -0.02 -0.01  0.04  0.00 -0.03
O4  0.02  0.01  0.04  0.00 -0.02  0.00 -0.01 -0.01  0.01  0.04  0.05
O5  0.03  0.04  0.04  0.02 -0.01 -0.05 -0.02  0.01  0.01  0.03  0.06
   O3    O4    O5   
O3  0.46            
O4  0.00  0.65      
O5  0.01  0.00  0.64

Isso é útil porque uma única estatística global pode ocultar mau ajuste localizado. Correlações residuais grandes identificam pares específicos de itens cuja associação não é bem reproduzida pelo modelo fatorial.

O próprio RMSR está disponível em:

fit$rms
[1] 0.02126726

10.7.2 RMSEA

psych::fa() também apresenta a raiz do erro quadrático médio de aproximação (RMSEA, Root Mean Square Error of Approximation).

O RMSEA incorpora discrepância do modelo e graus de liberdade. Valores menores indicam menor grau de mau ajuste aproximado.

A saída normalmente inclui tanto a estimativa quanto um intervalo de confiança. O intervalo é importante porque o RMSEA é uma quantidade estimada, e não uma propriedade perfeitamente conhecida da população.

Você pode inspecioná-lo diretamente com:

fit$RMSEA
     RMSEA      lower      upper confidence 
0.06729433 0.06481891 0.06982964 0.90000000

Valores como .05, .06 ou .08 são frequentemente usados como referências descritivas, mas não devem ser tratados como limiares universais de decisão. Seu comportamento depende de características como tamanho da amostra, número de variáveis, estrutura fatorial e estimador.

10.7.3 Índice de Tucker–Lewis

O Índice de Tucker–Lewis (TLI) compara a solução fatorial ajustada com um modelo de linha de base mais restritivo, ao mesmo tempo que leva em conta a complexidade do modelo.

Valores mais próximos de 1 indicam maior melhoria em relação ao modelo de linha de base.

Em R:

fit$TLI
[1] 0.8556677

Valores como .90 ou .95 são frequentemente usados como pontos de referência descritivos, mas vale a mesma cautela: eles não devem funcionar como regras automáticas de aprovação/reprovação.

10.7.4 Teste de Qui-Quadrado

A estatística qui-quadrado avalia se o modelo reproduz exatamente a estrutura de correlações populacional.

Um qui-quadrado estatisticamente significativo fornece evidência contra o ajuste exato. Com amostras grandes, entretanto, até discrepâncias relativamente pequenas podem se tornar estatisticamente significativas.

Por essa razão, o teste de qui-quadrado é mais bem interpretado em conjunto com os resíduos, os índices de ajuste aproximado, o padrão de cargas e a interpretação substantiva.

10.7.5 Critério de Informação Bayesiano

psych::fa() também apresenta o Critério de Informação Bayesiano (BIC).

O BIC é mais útil para comparar soluções fatoriais alternativas ajustadas aos mesmos dados. Valores menores indicam um melhor equilíbrio entre ajuste e complexidade do modelo.

O valor absoluto do BIC, isoladamente, não é especialmente informativo. Por exemplo, poderíamos comparar soluções de quatro e cinco fatores:

fit4 <- psych::fa(
  R_poly,
  nfactors = 4,
  n.obs = nrow(bfi_complete),
  rotate = "oblimin",
  cor = "poly",
  fm = "minres"
)

fit5 <- psych::fa(
  R_poly,
  nfactors = 5,
  n.obs = nrow(bfi_complete),
  rotate = "oblimin",
  cor = "poly",
  fm = "minres"
)

c(
  BIC_4_factors = fit4$BIC,
  BIC_5_factors = fit5$BIC
)
BIC_4_factors BIC_5_factors 
    2774.4605      783.2508

Um BIC menor para uma solução fornece uma evidência a favor dessa solução, mas a retenção de fatores ainda deve incorporar análise paralela, padrão de cargas e interpretabilidade teórica.

10.7.6 Correlações Reproduzidas

As correlações policóricas observadas foram armazenadas anteriormente em:

R_poly
             A1            A2          A3          A4          A5          C1
A1  1.000000000 -0.4211375789 -0.33259604 -0.18668402 -0.24123660 -0.01377998
A2 -0.421137579  1.0000000000  0.57304664  0.40736058  0.45586315  0.12539211
A3 -0.332596035  0.5730466423  1.00000000  0.43450257  0.58196486  0.14335733
A4 -0.186684018  0.4073605839  0.43450257  1.00000000  0.37318208  0.11683742
A5 -0.241236598  0.4558631454  0.58196486  0.37318208  1.00000000  0.17447818
C1 -0.013779980  0.1253921078  0.14335733  0.11683742  0.17447818  1.00000000
C2  0.005088399  0.1517415313  0.16326874  0.26298855  0.14320042  0.49235344
C3 -0.023638034  0.2215743513  0.15749332  0.16749272  0.15344229  0.35276862
C4  0.138258272 -0.1895623205 -0.16407935 -0.21529382 -0.16626419 -0.42271819
C5  0.047037168 -0.1541521299 -0.18807167 -0.29241180 -0.19869661 -0.30283583
E1  0.118616152 -0.2553540684 -0.24678157 -0.15893091 -0.27948642 -0.03645343
E2  0.104140375 -0.2841864510 -0.33798921 -0.23522606 -0.38645837 -0.12338872
E3 -0.068069817  0.2963505373  0.44506770  0.23576037  0.47346481  0.16146069
E4 -0.085044803  0.3286985129  0.42767864  0.36660727  0.53509346  0.16432293
E5 -0.025038503  0.3210939732  0.29538214  0.19715503  0.29920487  0.29994887
N1  0.188509751 -0.1205353306 -0.10941261 -0.12529805 -0.23652158 -0.08973131
N2  0.161422715 -0.0663232717 -0.10173960 -0.16572104 -0.22457880 -0.04372437
N3  0.103818764 -0.0539845636 -0.06131410 -0.07947288 -0.16025242 -0.03424998
N4  0.049690417 -0.1122390114 -0.14363846 -0.19531364 -0.23140285 -0.10751997
N5  0.008526750  0.0206904708 -0.05253098 -0.01396088 -0.09422165 -0.06281609
O1 -0.011649997  0.1561393896  0.18822211  0.06737125  0.19934755  0.22240906
O2  0.068671156  0.0007047078 -0.02134599  0.03684173 -0.02057077 -0.15657428
O3 -0.091220761  0.1917570367  0.26768225  0.08115293  0.27377762  0.22716088
O4 -0.111654046  0.1078295788  0.05642647 -0.05892290  0.01808457  0.12701050
O5  0.118628553 -0.1020166147 -0.06687794  0.03516019 -0.06673795 -0.17385214
             C2           C3          C4          C5           E1          E2
A1  0.005088399 -0.023638034  0.13825827  0.04703717  0.118616152  0.10414038
A2  0.151741531  0.221574351 -0.18956232 -0.15415213 -0.255354068 -0.28418645
A3  0.163268736  0.157493317 -0.16407935 -0.18807167 -0.246781568 -0.33798921
A4  0.262988552  0.167492722 -0.21529382 -0.29241180 -0.158930912 -0.23522606
A5  0.143200420  0.153442287 -0.16626419 -0.19869661 -0.279486420 -0.38645837
C1  0.492353445  0.352768623 -0.42271819 -0.30283583 -0.036453430 -0.12338872
C2  1.000000000  0.401773012 -0.44931225 -0.33681783  0.011661807 -0.09056640
C3  0.401773012  1.000000000 -0.40129491 -0.39252413 -0.003263281 -0.09872245
C4 -0.449312248 -0.401294909  1.00000000  0.54002343  0.114233569  0.24261444
C5 -0.336817831 -0.392524127  0.54002343  1.00000000  0.074569753  0.29797016
E1  0.011661807 -0.003263281  0.11423357  0.07456975  1.000000000  0.51577923
E2 -0.090566396 -0.098722451  0.24261444  0.29797016  0.515779226  1.00000000
E3  0.185314132  0.109803501 -0.10914629 -0.18220838 -0.348552968 -0.42886590
E4  0.141156529  0.111954302 -0.13921733 -0.23449388 -0.481025772 -0.58575414
E5  0.305614234  0.237799844 -0.27947011 -0.27183105 -0.339813901 -0.43076604
N1 -0.020443333 -0.086311782  0.24334296  0.23648877  0.019119553  0.19432680
N2  0.005682253 -0.071535407  0.17927363  0.27237407  0.018878821  0.22113712
N3  0.004642540 -0.087414133  0.22948378  0.26417435  0.057463626  0.20901330
N4 -0.039702682 -0.127351533  0.30043503  0.38517183  0.256697231  0.38632321
N5  0.049910916 -0.029398457  0.22808217  0.20913228  0.059788079  0.28793433
O1  0.200037093  0.112002817 -0.11830016 -0.10335774 -0.125149301 -0.18704329
O2 -0.078857766 -0.037283834  0.23827570  0.14985494  0.060972909  0.09894203
O3  0.225559988  0.066498848 -0.10959210 -0.09285602 -0.239067093 -0.26912186
O4  0.067278775  0.025082028  0.06414477  0.16108227  0.107078442  0.20314059
O5 -0.107280679 -0.015591700  0.22079775  0.06674445  0.090917046  0.09302565
            E3          E4           E5          N1           N2          N3
A1 -0.06806982 -0.08504480 -0.025038503  0.18850975  0.161422715  0.10381876
A2  0.29635054  0.32869851  0.321093973 -0.12053533 -0.066323272 -0.05398456
A3  0.44506770  0.42767864  0.295382143 -0.10941261 -0.101739605 -0.06131410
A4  0.23576037  0.36660727  0.197155032 -0.12529805 -0.165721038 -0.07947288
A5  0.47346481  0.53509346  0.299204874 -0.23652158 -0.224578804 -0.16025242
C1  0.16146069  0.16432293  0.299948867 -0.08973131 -0.043724373 -0.03424998
C2  0.18531413  0.14115653  0.305614234 -0.02044333  0.005682253  0.00464254
C3  0.10980350  0.11195430  0.237799844 -0.08631178 -0.071535407 -0.08741413
C4 -0.10914629 -0.13921733 -0.279470107  0.24334296  0.179273629  0.22948378
C5 -0.18220838 -0.23449388 -0.271831055  0.23648877  0.272374066  0.26417435
E1 -0.34855297 -0.48102577 -0.339813901  0.01911955  0.018878821  0.05746363
E2 -0.42886590 -0.58575414 -0.430766038  0.19432680  0.221137122  0.20901330
E3  1.00000000  0.46148611  0.439962621 -0.05365127 -0.060101416 -0.01680078
E4  0.46148611  1.00000000  0.354744716 -0.15976895 -0.168629793 -0.14542409
E5  0.43996262  0.35474472  1.000000000  0.04263309  0.051704557 -0.06554064
N1 -0.05365127 -0.15976895  0.042633089  1.00000000  0.775301157  0.62091329
N2 -0.06010142 -0.16862979  0.051704557  0.77530116  1.000000000  0.59917701
N3 -0.01680078 -0.14542409 -0.065540640  0.62091329  0.599177012  1.00000000
N4 -0.15651793 -0.34044139 -0.219074530  0.44989682  0.431173086  0.56781191
N5 -0.09914653 -0.13006463 -0.164021538  0.42111846  0.385328612  0.47445915
O1  0.38187454  0.16858405  0.342670623 -0.06441975 -0.044226047 -0.04974806
O2 -0.10026908  0.04504703 -0.112343752  0.14692170  0.129122710  0.11182084
O3  0.45386977  0.24095100  0.346380056 -0.04900868 -0.026995254 -0.03253343
O4  0.08243746 -0.11658531  0.006142618  0.09273774  0.155926480  0.19278776
O5 -0.15738083  0.04963259 -0.146785157  0.11758313  0.020909256  0.05477021
            N4          N5          O1            O2          O3           O4
A1  0.04969042  0.00852675 -0.01165000  0.0686711561 -0.09122076 -0.111654046
A2 -0.11223901  0.02069047  0.15613939  0.0007047078  0.19175704  0.107829579
A3 -0.14363846 -0.05253098  0.18822211 -0.0213459932  0.26768225  0.056426468
A4 -0.19531364 -0.01396088  0.06737125  0.0368417307  0.08115293 -0.058922904
A5 -0.23140285 -0.09422165  0.19934755 -0.0205707654  0.27377762  0.018084566
C1 -0.10751997 -0.06281609  0.22240906 -0.1565742799  0.22716088  0.127010500
C2 -0.03970268  0.04991092  0.20003709 -0.0788577657  0.22555999  0.067278775
C3 -0.12735153 -0.02939846  0.11200282 -0.0372838338  0.06649885  0.025082028
C4  0.30043503  0.22808217 -0.11830016  0.2382756999 -0.10959210  0.064144768
C5  0.38517183  0.20913228 -0.10335774  0.1498549408 -0.09285602  0.161082273
E1  0.25669723  0.05978808 -0.12514930  0.0609729089 -0.23906709  0.107078442
E2  0.38632321  0.28793433 -0.18704329  0.0989420298 -0.26912186  0.203140590
E3 -0.15651793 -0.09914653  0.38187454 -0.1002690834  0.45386977  0.082437459
E4 -0.34044139 -0.13006463  0.16858405  0.0450470259  0.24095100 -0.116585313
E5 -0.21907453 -0.16402154  0.34267062 -0.1123437515  0.34638006  0.006142618
N1  0.44989682  0.42111846 -0.06441975  0.1469217009 -0.04900868  0.092737737
N2  0.43117309  0.38532861 -0.04422605  0.1291227101 -0.02699525  0.155926480
N3  0.56781191  0.47445915 -0.04974806  0.1118208391 -0.03253343  0.192787757
N4  1.00000000  0.44644119 -0.04706704  0.0794304952 -0.06679344  0.268377160
N5  0.44644119  1.00000000 -0.15483690  0.2132289765 -0.10447257  0.137311942
O1 -0.04706704 -0.15483690  1.00000000 -0.2820873778  0.45280036  0.248944460
O2  0.07943050  0.21322898 -0.28208738  1.0000000000 -0.34252993 -0.106602854
O3 -0.06679344 -0.10447257  0.45280036 -0.3425299285  1.00000000  0.247832115
O4  0.26837716  0.13731194  0.24894446 -0.1066028544  0.24783211  1.000000000
O5  0.03096881  0.16029532 -0.31036937  0.3734435364 -0.37320281 -0.249788261
            O5
A1  0.11862855
A2 -0.10201661
A3 -0.06687794
A4  0.03516019
A5 -0.06673795
C1 -0.17385214
C2 -0.10728068
C3 -0.01559170
C4  0.22079775
C5  0.06674445
E1  0.09091705
E2  0.09302565
E3 -0.15738083
E4  0.04963259
E5 -0.14678516
N1  0.11758313
N2  0.02090926
N3  0.05477021
N4  0.03096881
N5  0.16029532
O1 -0.31036937
O2  0.37344354
O3 -0.37320281
O4 -0.24978826
O5  1.00000000

O modelo fatorial ajustado tenta reproduzir essas relações. Os resíduos mostram onde a reprodução é mais fraca:

residuals(fit)
   A1    A2    A3    A4    A5    C1    C2    C3    C4    C5    E1   
A1  0.74                                                            
A2 -0.10  0.46                                                      
A3 -0.01  0.01  0.39                                                
A4  0.02  0.01  0.02  0.65                                          
A5  0.04 -0.04  0.03 -0.01  0.47                                    
C1  0.02 -0.03 -0.01 -0.05  0.04  0.60                              
C2  0.04 -0.04 -0.02  0.05  0.00  0.06  0.49                        
C3  0.03  0.04 -0.01 -0.05  0.01  0.01 -0.01  0.64                  
C4  0.09 -0.02  0.00  0.01  0.02  0.00  0.01  0.01  0.45            
C5  0.01  0.01 -0.01 -0.04  0.01  0.05  0.05 -0.02  0.05  0.51      
E1  0.07 -0.04  0.04  0.02  0.05  0.00  0.03  0.01  0.07 -0.04  0.61
E2  0.04 -0.02  0.01  0.02  0.03  0.01  0.01  0.00  0.03  0.01  0.06
E3  0.07 -0.05  0.03  0.00  0.05 -0.02  0.02  0.01  0.04 -0.02  0.04
E4  0.05 -0.05 -0.03  0.02  0.05  0.06  0.03 -0.01  0.03  0.02 -0.03
E5  0.00  0.07 -0.01 -0.02 -0.02  0.01  0.00  0.02  0.01  0.01 -0.01
N1 -0.03  0.02  0.03  0.02 -0.02 -0.04 -0.04 -0.01 -0.02 -0.04  0.00
N2 -0.03  0.05  0.03 -0.02 -0.02 -0.02 -0.03 -0.01 -0.05  0.01 -0.02
N3  0.00 -0.02 -0.01  0.02  0.00  0.01 -0.02 -0.02 -0.02 -0.02 -0.01
N4  0.01 -0.02 -0.01 -0.02  0.01  0.00  0.03  0.00  0.00  0.02  0.03
N5 -0.01 -0.01 -0.05  0.00  0.01  0.01  0.05  0.00  0.02 -0.01 -0.07
O1  0.06  0.00  0.00  0.02  0.00 -0.01  0.02  0.02  0.06  0.00  0.05
O2  0.05  0.00 -0.02 -0.02  0.02  0.02  0.04  0.03  0.06  0.05  0.03
O3  0.01 -0.03  0.00  0.01  0.01  0.00  0.05  0.00  0.05  0.00  0.00
O4  0.00  0.00 -0.03 -0.01  0.00  0.04 -0.01  0.03  0.03  0.02  0.01
O5  0.05 -0.04  0.01  0.00  0.01  0.02  0.03  0.04  0.07  0.01  0.05
   E2    E3    E4    E5    N1    N2    N3    N4    N5    O1    O2   
E2  0.39                                                            
E3  0.02  0.50                                                      
E4 -0.02  0.01  0.40                                                
E5  0.00  0.01 -0.05  0.54                                          
N1  0.01 -0.02 -0.04  0.02  0.26                                    
N2  0.02 -0.04 -0.02  0.03  0.08  0.34                              
N3 -0.04  0.01  0.01 -0.04 -0.01 -0.01  0.41                        
N4 -0.04  0.02  0.01 -0.02 -0.03 -0.05  0.06  0.45                  
N5  0.02  0.01  0.02 -0.05 -0.02 -0.04  0.03  0.03  0.60            
O1  0.03  0.05  0.01  0.04 -0.01 -0.03 -0.02  0.01 -0.02  0.61      
O2  0.02  0.04  0.03  0.03 -0.03  0.00 -0.04 -0.01  0.01  0.01  0.70
O3  0.01  0.03  0.02 -0.02  0.00 -0.02 -0.02 -0.01  0.04  0.00 -0.03
O4  0.02  0.01  0.04  0.00 -0.02  0.00 -0.01 -0.01  0.01  0.04  0.05
O5  0.03  0.04  0.04  0.02 -0.01 -0.05 -0.02  0.01  0.01  0.03  0.06
   O3    O4    O5   
O3  0.46            
O4  0.00  0.65      
O5  0.01  0.00  0.64

Uma solução pode apresentar cargas fatoriais visualmente atraentes e, ainda assim, reproduzir mal algumas correlações. Por isso, a interpretação da AFE deve incluir tanto o padrão fatorial quanto a adequação do modelo.

10.8 Uma Ordem Prática para Interpretar a Solução

Uma sequência útil é:

  1. Inspecionar o padrão de cargas.
    Quais itens definem cada fator?

  2. Identificar cargas cruzadas.
    Alguns itens apresentam associações relevantes com múltiplos fatores?

  3. Inspecionar comunalidades e unicidades.
    Quanto da variância de cada item é representado pelos fatores retidos?

  4. Inspecionar a complexidade fatorial.
    Os itens estão associados principalmente a um fator ou o padrão de cargas é difuso?

  5. Inspecionar as correlações fatoriais.
    Os fatores estão relacionados, mas ainda são substantivamente distinguíveis?

  6. Examinar resíduos e adequação global do modelo.
    Quão bem a solução fatorial retida reproduz as correlações policóricas observadas?

  7. Retornar ao conteúdo dos itens e à teoria.
    Os fatores podem receber interpretações psicológicas coerentes?

Essa etapa final é essencial. Um procedimento estatístico pode identificar cinco fatores, mas os números, por si só, não podem nos dizer que esses fatores correspondem necessariamente aos cinco construtos psicológicos propostos pelo pesquisador. O significado de um fator vem dos indicadores e da teoria usada para interpretar sua variação comum.

ImportanteProcure convergência de evidências

Uma solução forte de AFE não é definida por todas as cargas excederem .40, todas as comunalidades excederem .50, o RMSEA ficar abaixo de um ponto de corte ou a análise paralela reproduzir exatamente o número de fatores teoricamente esperado.

Em vez disso, procure convergência entre evidências de retenção de fatores, cargas primárias coerentes, cargas cruzadas interpretáveis, comunalidades razoáveis, correlações fatoriais distinguíveis, reprodução adequada da matriz de correlações e uma estrutura que faça sentido substantivamente.

11 Um Guia Compacto de Decisão para AFE

Decisão Prefira perguntar… Evite…
Adequação dos dados Os itens estão suficientemente relacionados e são teoricamente adequados para modelagem por fatores comuns? Tratar Bartlett p < .05 como permissão automática para fatorar
Número de fatores Análise paralela, teoria e interpretabilidade convergem? Usar apenas autovalor > 1
Extração Qual estimador se adequa ao tipo de item e aos pressupostos distribucionais? Usar ACP quando a pergunta de pesquisa diz respeito a fatores latentes
Rotação É razoável pressupor que as dimensões psicológicas sejam exatamente não correlacionadas? Escolher varimax automaticamente
Interpretação O padrão completo de cargas faz sentido substantivo? Excluir itens mecanicamente a partir de um único ponto de corte de carga
Relato Os leitores conseguem reconstruir as principais decisões analíticas? Relatar apenas o número final de fatores

12 Como Relatar uma Análise Fatorial Exploratória

Um relato útil de AFE deve tornar transparentes as decisões analíticas, em vez de apenas afirmar que “uma AFE foi conduzida”.

No mínimo, relate:

  • as variáveis/itens incluídos;
  • o tamanho da amostra analítica;
  • a matriz de correlações utilizada (por exemplo, Pearson ou policórica);
  • o teste de Bartlett e o KMO, se utilizados;
  • o procedimento de retenção de fatores;
  • o método de extração;
  • o método de rotação;
  • o número de fatores retidos;
  • as cargas fatoriais e cargas cruzadas relevantes;
  • as correlações fatoriais ao utilizar uma rotação oblíqua; e
  • quaisquer estatísticas de adequação do modelo usadas na interpretação.

Para o tutorial do BFI, o texto poderia seguir esta estrutura:

Foi conduzida uma análise fatorial exploratória dos 25 itens do BFI utilizando correlações policóricas e análise fatorial por resíduos mínimos. A adequação da matriz de correlações foi examinada por meio do teste de esfericidade de Bartlett e da medida de Kaiser–Meyer–Olkin. O número de fatores foi avaliado por análise paralela com 500 conjuntos de dados de referência e o critério do percentil 95. Em seguida, uma solução de cinco fatores foi extraída e rotacionada usando oblimin, permitindo correlações entre os fatores. Cargas fatoriais, cargas cruzadas, correlações fatoriais e estatísticas de adequação do modelo foram consideradas conjuntamente na interpretação da solução.

Insira as estatísticas reais de sua análise, em vez de depender de um ponto de corte genérico ou copiar valores de outro estudo.

AvisoUma frase de relato não é um argumento de validade

A AFE fornece evidências referentes à estrutura interna. Uma solução de cinco fatores que se assemelha à teoria esperada constitui evidência útil, mas não estabelece validade de conteúdo, validade de processo de resposta, relações com variáveis externas ou adequação de todos os usos propostos para os escores.

13 Considerações Finais

A AFE frequentemente é apresentada como uma sequência de comandos de software, mas as decisões mais importantes ocorrem antes e depois da própria extração. O pesquisador deve decidir se um modelo de fator comum é substantivamente apropriado, quantos fatores reter, quais métodos de correlação e extração são adequados aos dados, se os fatores devem poder se correlacionar e se a solução final é interpretável à luz da teoria.

A ideia central, portanto, não é simplesmente “encontrar o número de fatores”. A AFE é uma forma baseada em modelos de perguntar se um conjunto de indicadores observados pode ser representado por uma estrutura latente menor. Procedimentos estatísticos como KMO, análise paralela, extração e rotação ajudam a responder partes dessa questão, mas nenhuma estatística isolada determina o significado psicológico dos fatores.

O próximo capítulo passa desse contexto exploratório para a análise fatorial confirmatória, em que a estrutura de mensuração é especificada de forma mais explícita e avaliada como um modelo hipotetizado.