4  Teoría de la Medición: Por Qué Es Posible Medir Fenómenos Psicológicos

A veces, en días de luz perfecta y exacta,
Cuando las cosas son tan reales como pueden ser,
Me pregunto lentamente
Por qué siquiera me preocupo por atribuir Belleza a las cosas.
¿Tiene realmente belleza una flor?
¿Tiene realmente belleza una fruta?
No: solo tienen color y forma
Y existencia.
Belleza es el nombre de algo que no existe
Pero que doy a las cosas a cambio del placer que me proporcionan.
No significa nada.
Entonces, ¿por qué digo de las cosas: son bellas?
Sí, incluso yo, que vivo solamente de vivir,
Soy visitado involuntariamente por las mentiras de los hombres
Acerca de las cosas que simplemente existen.
Acerca de las cosas,
¡Qué difícil es ser solamente lo que somos y no ver nada más que lo visible!
— Fernando Pessoa

La representación numérica de los constructos psicológicos es central para la psicometría, pero asignar números no equivale automáticamente a medir. La teoría de la medición plantea una pregunta más profunda: ¿qué debe ser verdadero acerca de un atributo para que las operaciones numéricas realizadas con sus puntuaciones tengan significado científico?

Este capítulo introduce esa pregunta desde una perspectiva histórica y conceptual. El objetivo no es sustituir el modelado psicométrico, sino aclarar los supuestos que hacen posibles las interpretaciones cuantitativas.

NotaMapa del capítulo

Recorreremos seis ideas conectadas:

  1. el objetivo de la psicometría;
  2. el debate histórico sobre cantidad y medición;
  3. qué significa que una variable sea ordenada y aditiva;
  4. la medición conjunta aditiva (MCA);
  5. el debate sobre si el modelado de Rasch implica medición; y
  6. los enfoques para poner a prueba empíricamente los axiomas de medición.

4.1 El Objetivo de la Psicometría

La psicometría es la rama de la psicología dedicada a cuantificar y medir atributos mentales, conducta, desempeño, sentimientos y fenómenos relacionados. Sin embargo, existe un desacuerdo importante acerca de si los procedimientos psicométricos habituales establecen realmente medición.

Como explican Sijtsma (2012), Michell (2000, 2004, 2008) y Kyngdon (2008b, 2008a), la práctica psicométrica estándar puede ser inadecuada para demostrar que los atributos psicológicos son cuantitativos. Desde esta perspectiva, la medición conjunta aditiva proporciona una base más sólida (Luce & Tukey, 1964). Sijtsma (2012) señala que tomar en serio esta posición exigiría cambios importantes en la psicología contemporánea y podría ralentizar considerablemente la investigación actual. Una respuesta razonable es preguntarse si ralentizarla es necesariamente indeseable cuando hacerlo mejora los fundamentos de la medición futura.

Por otro lado, Borsboom & Mellenbergh (2004) y Borsboom & Zand Scholten (2008) sostienen que la psicometría moderna —en particular, la teoría de respuesta al ítem (TRI) (Linden & Hambleton, 1997)— ya ofrece herramientas útiles para la medición psicológica. La tensión central se encuentra, por tanto, entre ajustar un modelo estadístico de medición y demostrar que el propio atributo posee la estructura cuantitativa que el modelo presupone.

ImportanteUna distinción que conviene mantener presente

Un modelo estadístico puede prescribir relaciones numéricas entre puntuaciones. La teoría de la medición pregunta si el atributo empírico representado sostiene en realidad esas relaciones numéricas. Son preguntas relacionadas, pero no idénticas.

4.2 Dr. Jekyll y Mr. Hyde: Medición y Validez

Cuando medimos un atributo, asociamos propiedades empíricas con números u otras entidades matemáticas de manera que las relaciones relevantes entre los objetos queden representadas numéricamente con fidelidad (Krantz et al., 1971). En la evaluación psicológica, este problema está estrechamente relacionado con la validez, porque la interpretación de las puntuaciones de los tests depende de lo que se considere que significan esas representaciones numéricas (American Educational Research Association et al., 2014; Borsboom, 2005).

Como señalan Bringmann & Eronen (2016), la medición física aparece rara vez en libros, manuales o monografías sobre medición y teoría de la medición en psicología (por ejemplo, American Educational Research Association et al., 2014; Borsboom, 2005; Kline, 2000; McDonald, 1999). En la edición de 2014 de los Standards for Educational and Psychological Testing, la validez es el primer tema tratado y se caracteriza como «la consideración más fundamental en el desarrollo y la evaluación de tests» (American Educational Research Association et al., 2014, p. 11). Según una definición clásica, la validez se refiere al grado en que un test o instrumento mide aquello que pretende medir (Kline, 2000, p. 17; McDonald, 1999, p. 197), aunque la teoría contemporánea de la validez contiene varias formulaciones en competencia (véase Newton & Shaw, 2013). Un enfoque destacado es el tratamiento unificado de la validez de Messick (Messick, 1989), centrado en la adecuación de las inferencias que los psicólogos realizan a partir de los resultados de los tests. Los enfoques basados en argumentos desarrollados por Kane también conciben la validación como el proceso de construir y evaluar argumentos sustentados en evidencia para las interpretaciones y los usos de las puntuaciones (Kane, 2001, 2006, 2013).

Sin embargo, los enfoques de validez dependen, en última instancia, de alguna relación entre un constructo y las puntuaciones utilizadas para representarlo. Esto convierte la cuantificación de los fenómenos psicológicos en una cuestión central para la investigación psicométrica. Sostengo que la falta de fundamentos empíricos de la medición psicológica es el «Mr. Hyde» de la psicometría, un monstruo para algunos investigadores que, al mismo tiempo, es «Dr. Jekyll», una de las múltiples fuentes de validez de los instrumentos psicológicos. Esta perspectiva coincide con Michell (2000), quien describe esta forma de hacer psicometría como «patológica».

TipConexión con el capítulo sobre validez

La validez pregunta si las interpretaciones y los usos de las puntuaciones están justificados. La teoría de la medición añade una pregunta más básica: ¿las relaciones empíricas representadas por esas puntuaciones justifican la estructura numérica que utilizamos?

4.3 Historia de la Medición Psicológica

Antes de seguir el debate histórico en detalle, el cambio principal puede resumirse de la siguiente manera.

Período / pensador Idea central Relevancia para la medición
Pitágoras y Platón La naturaleza es fundamentalmente matemática Favoreció la idea de que la realidad puede representarse cuantitativamente
Aristóteles Las cantidades y las cualidades son tipos distintos de atributos La estructura aditiva distingue cantidades de cualidades
Galileo, Newton, Kant, Kelvin Las matemáticas quedaron cada vez más vinculadas a la explicación científica Reforzó el imperativo cuantitativo en la ciencia
Primeros psicólogos El estatus científico pasó a asociarse con la experimentación y la medición La psicología adoptó cada vez más métodos cuantitativos
S. S. Stevens Medir es asignar números de acuerdo con reglas Amplió el significado de medición más allá de la cantidad clásica
Teoría representacional de la medición La representación numérica debe preservar la estructura empírica Reintrodujo la pregunta de qué hace significativa una representación numérica

El debate que subyace a lo que Michell llamaría más tarde la patología de la psicometría comenzó mucho antes de que existiera la psicometría. Pitágoras suele asociarse con la afirmación de que «todas las cosas están hechas de números». Es un supuesto fuerte: sugiere que la estructura fundamental de los procesos de la naturaleza es cuantitativa. En Timeo, Platón continúa con una idea semejante al afirmar que todas las cosas están compuestas por cuatro elementos básicos (tierra, fuego, aire y agua), formados a su vez por poliedros. Prosigue esta lógica sosteniendo que los poliedros están hechos de triángulos, que pueden reducirse a líneas y ángulos y, finalmente, a números.

Aristóteles ofreció un contrapunto importante a esa reducción de todo a la cantidad. Reconoció que existen cantidades (números, tamaños, áreas, etc.), pero también cualidades. Esas cualidades no son cuantitativas y se refieren a cosas como colores y aromas. Según Aristóteles, esta distinción era observable: las propiedades cuantitativas tenían una estructura aditiva, mientras que las cualidades no. De este modo desarrolló una física cualitativa.

La discrepancia continuó entre quienes trataban la naturaleza como fundamentalmente cuantitativa y quienes sostenían que no toda propiedad posee una estructura cuantitativa. Tiempo después, el propio Galileo se situó del lado de Pitágoras y Platón:

[El universo] no puede leerse hasta que hayamos aprendido el lenguaje y nos hayamos familiarizado con los caracteres en los que está escrito. Está escrito en lenguaje matemático, y las letras son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es humanamente imposible comprender una sola palabra. (Galilei, 1864)

La huella de este discurso puede observarse hasta hoy. Se sigue afirmando que todo puede expresarse en términos matemáticos. Naturalmente, si numeramos todo, lo asociamos con las matemáticas. Pero detrás de esa idea se encuentra la afirmación de que todo en la vida es cuantitativamente mensurable.

Grandes contemporáneos de Galileo en el mismo campo compartían sus ideas, como Kepler y Descartes. Sin embargo, eso no fue lo que hizo «vencer» a la posición cuantitativa, sino el hecho de que la física de Galileo dominó la ciencia europea y desplazó el foco de su rival, la física aristotélica.

Con ese éxito, Galileo contribuyó al nacimiento del imperativo cuantitativo. Con la aparición de las obras de Newton, que reforzaron las perspectivas cuantitativas de Galileo, un número creciente de filósofos comenzó a defender esta forma de pensar. Kant escribió que

… en cualquier doctrina especial de la naturaleza solo puede haber tanta ciencia propiamente dicha como matemáticas haya en ella. (Kant, 1786, p. 7)

Aquí puede reconocerse el origen de la idea de que toda ciencia debe ser cuantitativa. Fue ya en el siglo XIX cuando Lord Kelvin, un importante físico, expresó estas ideas de forma más concreta:

Cuando puedes medir aquello de lo que hablas y expresarlo en números, sabes algo sobre ello; pero cuando no puedes medirlo, cuando no puedes expresarlo en números, tu conocimiento es de una naturaleza pobre e insatisfactoria: puede ser el comienzo del conocimiento, pero apenas has avanzado, en tus pensamientos, hasta la etapa de la ciencia, sea cual sea el asunto. (Thomson, 1891, p. 81)

Así, este discurso se convirtió en uno de los favoritos del movimiento cuantitativo. Pearson, por ejemplo, repetiría más tarde este ideal (Pearson, 1978). Como ocurrió en muchas otras áreas que buscaban reclamar estatus científico mediante el pensamiento cuantitativo, la psicología no fue diferente. Cuando la psicología surgió en el siglo XIX, G. Fechner también estaba influido por las ideas de la época acerca de la naturaleza de la ciencia (Fechner, 1860). Fechner era físico y posteriormente se interesó por cuestiones psicológicas, como la intensidad de las sensaciones. Aunque no fue la primera persona en intentar medir variables psicológicas (quizá Nicole Oresme, en el siglo XIV, lo hubiera intentado antes), propuso métodos de medición.

El pensamiento cuantitativo continuó entre los precursores de la psicología, al menos en esta rama. El eugenista Francis Galton, que influyó en numerosos estudios psicológicos y realizó muchos de ellos, escribió que

… hasta que los fenómenos de cualquier rama del conocimiento hayan sido sometidos a medición y número, esta no puede asumir el estatus y la dignidad de una ciencia. (Galton, 1879, p. 147)

Su asistente y uno de los primeros profesores de psicología, James McKeen Cattell, siguió esta línea de pensamiento:

La psicología no puede alcanzar la certeza y exactitud de las ciencias físicas, a menos que se apoye en una base de experimentación y medición. (Cattell, 1890, p. 373)

Incluso el creador del análisis factorial, Charles Spearman, escribió:

… por grande que sea la potencia de este [método experimental], o de los métodos anteriores, existe todavía otro tan vital que, si falta, muchas autoridades consideran que un estudio no es científico en el sentido pleno de la palabra. Este método adicional y decisivo es la medición. (Spearman, 1937, p. 89)

E. B. Titchener (1905, pp. xxi-xxii) y Külpe (1895, p. 11) expresaron opiniones similares y sostuvieron que los procesos mentales eran mensurables. Pocos de quienes afirmaban que la psicología era una ciencia cuestionaron realmente la idea de que pudiera ser cuantitativa. Probablemente esto se debía a que podía ponerse en riesgo su estatus de ciencia. Un psicólogo se atrevió a hacerlo: Franz Brentano, quien se aproximó en cierta medida al pensamiento aristotélico.

Las matemáticas me parecen necesarias para el tratamiento exacto de todas las ciencias solo porque, de hecho, actualmente encontramos magnitudes en todos los campos científicos. Si existiera un campo en el que no encontráramos nada de ese tipo, sería posible una descripción exacta incluso sin matemáticas. (Brentano, 1874, p. 65)

S. S. Stevens intentó resolver la tensión entre quienes consideraban y quienes no consideraban mensurables los atributos psicológicos. Stevens sostuvo que la representación numérica no tenía por qué restringirse a cantidades aditivas y popularizó la tipología de escalas nominal, ordinal, de intervalo y de razón. En varias publicaciones definió la medición como la asignación de números a objetos o acontecimientos según reglas (Stevens, 1946, 1951, 1959). Esta es una de las definiciones de medición más famosas de la psicología actual y aparece como definición principal en miles de libros de psicología y psicometría.

Sin embargo, su definición carece de contenido suficiente. No solo convierte todas las cosas en mensurables, sino que también convierte en formas de medición todo aquello que puede numerarse. Además, desaparece la distinción entre variables cuantitativas y cualitativas. En otras palabras, que una variable sea cuantitativa deja de ser una característica de la propia variable y pasa a ser una cuestión pragmática decidida por el investigador. La definición de Stevens confunde dos prácticas diferentes: a) la medición, en el sentido clásico; y b) la codificación numérica. La medición implica descubrir hechos empíricos de naturaleza intrínsecamente numérica. La codificación numérica es simplemente el uso cosmético de números en el análisis y la presentación de algo que no es numérico; es una representación simbólica de los hechos.

4.4 Cómo Avanzar: Definir Cantidad

Tras este debate histórico, permanece la pregunta clave: ¿qué es una cantidad? ¿Qué distingue una variable cuantitativa de una no cuantitativa? En el marco clásico utilizado aquí, una cantidad debe poseer tanto una estructura de orden como una estructura aditiva. Podemos construir esta idea paso a paso.

Concepto Pregunta sencilla Ejemplo
Variable ¿En qué aspecto pueden diferir los objetos? altura, color, velocidad
Valor ¿Qué propiedad o relación particular está presente? 1,80 m, rojo, 60 km/h
Orden ¿Pueden ordenarse significativamente los valores? 6 m > 2 m
Aditividad ¿Pueden combinarse las diferencias según reglas consistentes? 2 m + 4 m = 6 m
NotaIdea clave

Todas las variables cuantitativas están ordenadas, pero no toda variable ordenada es cuantitativa. El requisito adicional es una estructura aditiva.

¿Qué sería una variable? En términos generales, es cualquier aspecto respecto del cual los objetos pueden variar. El tamaño es una variable, porque distintos objetos tienen tamaños distintos. El color es una variable, porque existen varios colores. De manera más precisa, la clase de propiedades que constituye una variable (tamaño, color, etc.) solo puede presentarse una vez para cada objeto en un momento determinado. Por ello, no tengo dos alturas al mismo tiempo. Esta es una condición importante de una variable: no poseer la misma propiedad más de una vez. Naturalmente, un mismo objeto puede tener diferentes propiedades; por ejemplo, una persona puede ser alta, blanca y tener el cabello castaño. En ese caso tenemos tres variables (altura, raza/etnicidad y color del cabello). Pero eso no agota lo que caracteriza a una variable.

Las relaciones también pueden constituir variables. La diferencia entre propiedades y relaciones es importante. Las cosas poseen propiedades propias, como el tamaño de mi bolígrafo. Las relaciones implican una pluralidad de cosas. Si el bolígrafo está sobre una mesa, la situación involucra tanto al bolígrafo como a la mesa. Otro ejemplo es la velocidad. La velocidad de \(X\) respecto de \(Y\) implica a \(X\) y a \(Y\). La velocidad de \(X\) respecto de \(Y\) es una sola, pero también puede existir otra velocidad: la de \(X\) respecto de \(Z\). Esto no significa que \(X\) tenga más de una velocidad simultáneamente dentro de una misma relación; significa que existen relaciones diferentes entre los objetos \(X\), \(Y\) y \(Z\).

Otro concepto importante es el de valor: las propiedades y relaciones que constituyen una variable pueden denominarse valores de esa variable. Por ejemplo, medir 6 metros es un valor de la variable tamaño. Ser mujer es un valor de la variable género, y así sucesivamente. Cuando afirmamos que una variable cuantitativa es ordenada y aditiva, afirmamos que existen relaciones ordinales y aditivas entre los valores de esa variable.

¿Qué constituye una variable ordenada? Una forma sencilla de pensarlo es que 6 metros es más que 2 metros. También podemos pensar en la educación: la educación superior representa más educación que la secundaria, y esta, a su vez, más que la primaria. Más concretamente, los valores de las variables se ordenan de acuerdo con sus magnitudes. Utilizamos el símbolo \(≥\), que significa «mayor que o al menos igual a», y \(>\), que significa «mayor que». El símbolo \(=\) significa «igual a» o «identidad del valor». Pasemos ahora a la formulación matemática.

Considere \(X\), \(Y\) y \(Z\) como tres valores de una variable \(Q\). La relación de orden debe satisfacer tres propiedades:

  1. si \(𝑋 ≥ 𝑌\) y \(𝑌 ≥ 𝑍\), entonces \(𝑋 ≥ 𝑍\) (transitividad): si \(𝑋\) es mayor o igual que \(Y\), y \(Y\) es mayor o igual que \(Z\), entonces \(X\) debe ser mayor o igual que \(Z\);
  2. si \(𝑋 ≥ 𝑌\) y \(𝑌 ≥ 𝑋\), entonces \(𝑋 = 𝑌\) (antisimetría): si ambos valores son al menos tan grandes como el otro, deben ser iguales; y
  3. o bien \(𝑋 ≥ 𝑌\) o bien \(𝑌 ≥ 𝑋\) (conexidad fuerte): uno de los valores debe ser mayor, o ambos deben ser iguales.

Una relación que satisface estas tres propiedades se denomina orden simple. Por tanto, \(Q\) es ordinal cuando \(≥\) forma un orden simple sobre sus valores. De nuevo, el orden es necesario para la cantidad, pero no suficiente; también necesitamos aditividad.

La aditividad se representa mediante una relación ternaria como \(X + Y = Z\). Para una variable ordenada \(Q\), la estructura aditiva utilizada aquí exige las siguientes propiedades:

  1. \(X + (𝑌 + 𝑍) = (𝑋 + 𝑌) + 𝑍\) (asociatividad): la forma de agrupar la suma no modifica el valor resultante;
  2. \(𝑋 + 𝑌 = 𝑌 + 𝑋\) (conmutatividad): el orden de los operandos no modifica el resultado final;
  3. \(𝑋 ≥ 𝑌\) si y solo si \(𝑋 + 𝑍 ≥ 𝑌 + 𝑍\) (monotonicidad): si añadimos el mismo valor a ambos lados, el orden entre \(X\) e \(Y\) se mantiene;
  4. si \(𝑋 ≥ 𝑌\), existe un valor \(𝑍\) tal que \(𝑋 = 𝑌 + 𝑍\) (solubilidad): si \(X\) es mayor que \(Y\), existe un tercer valor que, añadido a \(Y\), produce un valor igual a \(X\);
  5. \(𝑋 + 𝑌 ≥ 𝑋\) (positividad): al incrementar \(X\) mediante un valor \(Y\), el resultado no es menor que el valor original de \(X\); y
  6. existe un número natural \(n\) tal que \(n𝑋 ≥ 𝑌\), donde \(1𝑋 = 𝑋\) y \((𝑛+1)𝑋 = 𝑛𝑋+𝑋\) (condición arquimediana): ningún valor \(Y\) de la variable es infinitamente mayor que otro valor \(X\).

En conjunto, las tres condiciones de orden y las seis condiciones aditivas describen la estructura de la variable. Por sí solas, no describen la conducta de los objetos que poseen valores en esa variable.

ImportantePor qué esto importa en psicometría

Una puntuación puede codificarse numéricamente sin haber establecido que el atributo representado por ella satisface estas condiciones estructurales. La pregunta de la teoría de la medición aparece antes de preguntar si un modelo estadístico se ajusta a los datos observados.

Por tanto, una medida no depende únicamente de la aditividad. Una crítica importante de Michell es que los psicómetras no evalúan adecuadamente sus modelos en el nivel de la teoría de la medición. Como resultado, presuponen muchas cosas que pueden ser o no verdaderas y que requieren pruebas o una teorización explícita sobre las medidas construidas. Si los psicómetras evaluaran realmente el nivel de medición de sus variables, esto contribuiría a resolver el problema de la llamada psicometría patológica. No deberíamos seguir asumiendo aquello que puede ponerse a prueba o, como mínimo, teorizarse de una forma más concreta.

4.5 Medición Conjunta Aditiva

La presentación de la medición conjunta aditiva (MCA) que sigue se basa en Michell (2014). Luce & Tukey (1964) propuso la MCA como una forma de establecer una estructura cuantitativa sin requerir concatenación física. En lugar de unir literalmente objetos, la MCA evalúa si las relaciones ordinales entre combinaciones de variables se comportan como deberían hacerlo si existiera una estructura cuantitativa subyacente. Esto es especialmente relevante en psicología, donde las operaciones de concatenación suelen no estar disponibles, mientras que las comparaciones ordinales son comunes.

NotaLa MCA en una frase

Si el orden observado de los resultados satisface axiomas específicos, puede ser posible representar numéricamente las variables subyacentes de forma aditiva.

La teoría se ocupa del tipo de situación en la que una variable cuantitativa, \(P\), es una función no interactiva de otras dos variables, \(A\) y \(X\). La expresión «no interactiva» puede entenderse como «aditiva» o «multiplicativa», aunque en realidad es más general que eso. Esto significa que la teoría de la medición conjunta se refiere a situaciones como \(P = A + X\) o \(P = A * X\). Su aplicación se dirige específicamente a aquellos casos en los que ni \(P\), ni \(A\) ni \(X\) ya han sido cuantificados. Se requiere que:

  1. la variable \(P\) tenga un número infinito de valores;

  2. \(P = f(A,X)\), donde \(f\) es alguna función matemática;

  3. exista un orden simple sobre los valores de \(P\); y

  4. puedan identificarse los valores de \(A\) y \(X\) (es decir, que los objetos puedan clasificarse de acuerdo con el valor de \(A\) y de \(X\)).

Llamemos sistema conjunto a un sistema que satisface (i)–(iv). Si \(≥\) en \(P\) satisface tres condiciones especiales, se sigue que:

  1. \(P\), \(A\) y \(X\) son cuantitativas; y
  1. \(f\) es una función no interactiva.

Las tres condiciones especiales son:

  1. doble cancelación;

  2. solubilidad; y

  3. condición arquimediana.

Supongamos que \(P\) representa el desempeño en alguna tarea (por ejemplo, el tiempo necesario para recorrer un laberinto), \(A\) es la motivación y \(X\) es la cantidad de práctica previa. Sería relativamente sencillo ordenar los desempeños y clasificar a los participantes según su motivación (por ejemplo, duración de la privación de alimento o agua) y el número de intentos previos de práctica.

Estos sistemas conjuntos pueden visualizarse fácilmente como una matriz en la que las filas son valores de \(A\), las columnas son valores de \(X\) y las celdas son valores de \(P\). Sean \(a\), \(b\), \(c\), … valores de \(A\) y \(x\), \(y\), \(z\), … valores de \(X\); dado que \(P=f(A,X)\), los pares \(ax\), \(ay\), …, \(cy\), \(cz\), … denotan valores —posiblemente idénticos— de \(P\). Una matriz de este tipo se representa esquemáticamente en Figura 4.1 para facilitar la comprensión visual de las condiciones (1)–(3).

Figura 4.1: Representación esquemática de una matriz de medición conjunta: … \(a\), \(b\), \(c\) … son valores de la variable \(A\); … \(x\), \(y\), \(z\) … son valores de la variable \(X\); y … \(ax\), \(ay\), …, \(cy\), \(cz\) … son valores de la variable \(P\) (\(ax\) es simplemente el valor de \(P\) producido por la conjunción de \(a\) y \(x\), etc.).

4.5.1 Doble Cancelación

La condición de doble cancelación establece que, si determinados pares de valores de \(P\) están ordenados mediante \(≥\), otros pares específicos de valores también deberán estarlo. Se asemeja a la condición de transitividad que \(≥\) debe satisfacer para ser un orden simple. En el contexto de la medición conjunta, la transitividad de \(≥\) en \(P\) es un caso especial de doble cancelación.

La doble cancelación adopta la siguiente forma. Sean \(a\), \(b\) y \(c\) cualesquiera valores de \(A\), y \(x\), \(y\) y \(z\) cualesquiera valores de \(X\). Entonces \(≥\) en \(P\) satisface doble cancelación si y solo si

\[ ay \ge bx,\qquad bz \ge cy\quad \Longrightarrow \quad az \ge cx. \]

Al principio esta condición puede parecer abstracta. Resulta más fácil de comprender cuando la doble cancelación se interpreta como una consecuencia del caso aditivo de una relación no interactiva entre \(P\), \(A\) y \(X\),

\[ P = A + X. \]

Dada esta relación,

\[ ay ≥ bx\ \text{si y solo si}\ a + y ≥ b + x \]

\[ \text{y}\ bz ≥ cy\ \text{si y solo si}\ b + z ≥ c + y. \]

Al sumar las dos desigualdades de la derecha obtenemos

\[ a+y+b+z ≥ b+x+c+y \]

y, dado que \(b\) e \(y\) aparecen en ambos lados de la desigualdad, pueden cancelarse, dejando

\[a + z ≥ c + x\]

lo que, naturalmente, es verdadero si y solo si

\[az ≥ cx\].

A pesar de su sencillez, la doble cancelación es una condición con considerable poder restrictivo sobre el orden de \(P\). Puede ilustrarse en una matriz \(3×3\). Sean \(a1\), \(a2\) y \(a3\) tres valores de \(A\), y \(x1\), \(x2\) y \(x3\) tres valores de \(X\). La matriz conjunta resultante se muestra en Figura 4.2.

Figura 4.2: Matriz conjunta 3 × 3

Como \(a\), \(b\) y \(c\) en la condición de doble cancelación pueden ser cualesquiera valores de \(A\), \(a1\), \(a2\) y \(a3\) pueden sustituirse por ellos de cualquiera de las \(3! (= 6)\) formas posibles. De manera análoga, \(x1\), \(x2\) y \(x3\) pueden sustituir a \(x\), \(y\) y \(z\) de seis maneras diferentes. Esto produce \(6 × 6 = 36\) instancias distintas de sustitución de la condición de doble cancelación en la matriz \(3×3\) anterior —y, en general, en cualquier matriz conjunta \(3×3\)—. Las 36 instancias se muestran en Figura 4.3.

Figura 4.3: Doble cancelación

No todas son lógicamente independientes. Se organizan en seis conjuntos de seis instancias. Dentro de cada conjunto, las relaciones de orden relevantes se establecen entre los mismos tres valores de \(P\) —o celdas de la matriz—. Las flechas representan estas relaciones: por ejemplo, \(ax ≥ by\) se representa como \(ax\) -> \(by\); las flechas de una línea indican los órdenes antecedentes y las de doble línea el orden consecuente.

Dentro de cada conjunto de seis, si una de las instancias de doble cancelación es verdadera, todas lo serán. Entre conjuntos, en cambio, las instancias son lógicamente independientes. Por ello, en cualquier matriz \(3×3\) existen seis pruebas independientes de la condición de doble cancelación. La condición es falsa si, en cualquiera de los diagramas de la figura anterior, las relaciones de orden antecedentes son válidas pero la consecuente no lo es; en caso contrario, se satisface. Evidentemente, satisfacer la doble cancelación —incluso en una matriz conjunta \(3×3\)— no es trivial y puede ser computacionalmente exigente.

4.5.2 Solubilidad

La condición de solubilidad exige que las variables \(A\) y \(X\) sean lo suficientemente ricas como para producir cualquier valor requerido de \(P\). Se formula de la siguiente manera.

El orden \(≥\) en \(P\) satisface la solubilidad si y solo si (i) para cualesquiera \(a\) y \(b\) en \(A\) y cualquier \(x\) en \(X\), existe un valor de \(X\) —llamémoslo \(y\)— tal que \(ax = by\) (es decir, tanto \(ax ≥ by\) como \(by ≥ ax\)); y (ii) para cualesquiera \(x\) e \(y\) en \(X\) y cualquier \(a\) en \(A\), existe un valor de \(A\) —llamémoslo \(b\)— tal que \(ax = by\). En otras palabras, dados \(a\), \(b\), \(x\) e \(y\), existe un valor adecuado que permite resolver una ecuación de la forma

\[ ax = by. \]

Pensando en la relación \(P = A + X\), la solubilidad implica que los valores de \(A\) y \(X\) estén igualmente espaciados, como los números naturales, o sean densos, como los números racionales.

4.5.3 Condición Arquimediana

Como ya se explicó, la condición arquimediana garantiza que ningún valor de una cantidad variable sea infinitamente mayor que otro. Aquí su significado es esencialmente el mismo, aunque su expresión es algo más compleja. Pensando de nuevo en \(P=A+X\), puede resumirse de la siguiente manera. La medición conjunta permite cuantificar diferencias entre los valores de \(A\), entre los valores de \(X\) y entre los valores de \(P\). Si nos concentramos en \(A\), la condición arquimediana significa que ninguna diferencia entre dos valores de \(A\) es infinitamente mayor que la diferencia entre cualesquiera otros dos valores de \(A\).

4.6 La Historia del Análisis Taxométrico

El método taxométrico introducido por Meehl (1995) fue diseñado para ayudar a los investigadores a evaluar si la estructura latente subyacente a los datos observados se caracteriza mejor como categórica o continua (Ruscio et al., 2007). En términos simplificados, los procedimientos taxométricos examinan si el patrón observado es más compatible con una dimensión latente continua o con una o más categorías latentes (Franco, 2021).

Ruscio & Kaczetow (2009) mostró mediante estudios de simulación que los índices de ajuste basados en comparación de curvas pueden discriminar entre estructuras dimensionales y categóricas con gran precisión bajo las condiciones estudiadas. Sin embargo, un metaanálisis de estudios taxométricos publicados encontró una tendencia hacia conclusiones dimensionales más que categóricas (Haslam et al., 2012). Algunas limitaciones de la taxometría se relacionan tanto con su interpretación estadística como con su vínculo con la teoría de la medición. Por ejemplo, la estructura de covarianza puede producir equivalencias entre determinadas representaciones de clases latentes y factoriales (Gibson, 1959), lo que dificulta la falsabilidad del análisis taxométrico. Además, este método no incorpora desarrollos posteriores de la teoría de la medición, como la evaluación de los supuestos de la MCA dentro de la teoría psicométrica.

4.7 ¿Implica Medición el Modelado de Rasch?

Se han desarrollado numerosos análisis para derivar representaciones numéricas de variables psicológicas. Aun así, la medición conjunta tuvo muy poco impacto en la construcción de estos modelos psicométricos (Cliff, 1992; Narens & Luce, 1993; Ramsay, 1975, 1991; Schwager, 1991). Un modelo se vincula con especial frecuencia a la medición conjunta: el modelo de Rasch (Rasch, 1960).

Medición conjunta aditiva Modelado de Rasch
Parte de axiomas sobre orden empírico y aditividad Parte de un modelo probabilístico de respuesta
Pregunta si la representación cuantitativa está justificada Pregunta si las respuestas observadas son compatibles con el modelo
No exige una curva específica de respuesta al ítem Especifica una relación funcional particular entre parámetros de persona e ítem
Establece condiciones representacionales si se satisfacen sus axiomas El ajuste del modelo, por sí solo, no establece automáticamente los axiomas de la MCA

Para relacionar el modelo de Rasch con la medición conjunta, algunos autores han razonado por analogía con la medición física, un enfoque criticado por Kyngdon (2008b). Por ejemplo, Fischer (1995) concluyó que, dado que las transformaciones logarítmicas producen relaciones aditivas entre medidas derivadas en física, se seguiría lógicamente que los constructos de habilidad individual y dificultad del ítem poseen suficiente estructura como para sustentar teoremas de representación sobre los números reales, esencialmente únicos salvo transformaciones lineales. En esencia, la habilidad de la persona y la dificultad del ítem se consideran dotadas de estructuras aditivas a partir de una transformación de la relación entre estos constructos. Sin embargo, esta relación se sostiene por analogía con la medición derivada mediante la noción de objetividad específica (Kyngdon, 2008b). Para afirmar que el modelo de Rasch (Rasch, 1960) proporciona una medición aditiva de intervalo de la habilidad de la persona y de la dificultad del ítem, debe ser verdadero el supuesto subyacente de que el desempeño en el test constituye una estructura conjunta multiplicativa formada por la habilidad de la persona y la dificultad del ítem. No obstante, esto no ha sido demostrado de manera independiente.

Gran parte de la literatura que vincula el modelado de Rasch con la medición conjunta trata el modelo de Rasch como una realización probabilística de la medición conjunta (Borsboom & Mellenbergh, 2004; Karabatsos, 2001; Kline, 1998; véase también Kyngdon, 2008a). Desde esta perspectiva, unos datos que se ajustan al modelo de Rasch pueden respaldar una escala de intervalo. Sin embargo, esta afirmación es controvertida. Michell (2008) enfatiza que la medición conjunta se formula en términos de relaciones ordinales y de equivalencia necesarias para la cuantificación, mientras que el modelo de Rasch parte de una función probabilística de respuesta. Por tanto, la conexión entre ambos marcos requiere argumentación y no constituye una equivalencia matemática directa (Kyngdon, 2008a). La diferencia matemática es clara: la teoría de la medición conjunta propone axiomas de orden y aditividad (Luce & Tukey, 1964), mientras que el modelo de Rasch impone principalmente una estructura probabilística de orden sobre personas e ítems (Borsboom & Zand Scholten, 2008).

En la práctica habitual de investigación, cuando una persona ajusta un modelo de Rasch supuestamente examina la consistencia entre los datos y el modelo en relación con los axiomas de medición mediante estadísticos de ajuste (Karabatsos, 2001). Sin embargo, incluso si asumimos que Rasch está poniendo a prueba esos axiomas, hacerlo mediante estadísticos de ajuste no es directo, porque la especificación de la medición conjunta aditiva bajo el modelo de Rasch depende de los datos. La función de respuesta al ítem se estima directamente a partir de ellos, y los datos contienen ruido aleatorio o sistemático. Este problema fue ilustrado por Nickerson & McClelland (1984) y Karabatsos (2001): un modelo numérico o probabilístico puede mostrar un ajuste muy bueno aun cuando se violen restricciones relevantes de la medición conjunta.

4.7.1 Modelos de Teoría de Respuesta al Ítem Representacionalmente Adecuados

Scheiblechner (1995) desarrolló el Modelo Probabilístico Ordinal Isotónico (ISOP), con correcciones y aclaraciones posteriores de Scheiblechner (1998), en parte para abordar limitaciones de modelos paramétricos de medición más restrictivos. ISOP parte de la idea de que, en psicología experimental o en contextos de testing, es habitual formular antes del experimento la hipótesis de una variable ordinal que permita ordenar las reacciones observadas. El modelo evalúa su ajuste mediante los axiomas I y II de la teoría de la medición conjunta aditiva y suele describirse como un enfoque probabilístico estrechamente relacionado con los modelos no paramétricos de respuesta al ítem y el escalamiento de Mokken (Molenaar, 1991).

A diferencia de los modelos paramétricos de rasgo latente, ISOP es no paramétrico: no depende de una familia paramétrica específica, de una forma funcional determinada para la curva ni de una distribución previa concreta de la habilidad latente. Se basa en principios axiomáticos con axiomas independientes y evaluables por separado, y ofrece pruebas estadísticas no paramétricas para diversos modelos unidimensionales. Esta estructura permite a ISOP distinguir entre un mal ajuste asociado con multidimensionalidad del rasgo latente y un mal ajuste debido a la parametrización.

El modelo ISOP proporciona un marco fundamental en teoría de la medición, con énfasis en la unidimensionalidad ordinal y con algoritmos para el desarrollo de tests. Presupone que las respuestas son generadas por la interacción entre personas e ítems, produciendo una escala ordinal común, pero que los efectos no son aditivos. Scheiblechner (1999) extendió ISOP incorporando el axioma de cancelación (axioma III), dando lugar al Modelo Probabilístico Isotónico Conjunto Aditivo (ADISOP). Esta extensión permite construir dos escalas métricas ordenadas con una unidad común para sujetos e ítems, posibilitando una representación aditiva de variables latentes que interactúan para producir los órdenes observados.

Aunque ADISOP comparte semejanzas con el modelo de Rasch, no prescribe una función específica de respuesta al ítem. Scheiblechner (1999) propone que la comparación entre ISOP, ADISOP y Rasch puede ayudar a evaluar el nivel de medición de las variables latentes. Los modelos forman una jerarquía que pasa de medidas ordinales a medidas de intervalo —si ADISOP se ajusta mejor que ISOP— y de medidas de intervalo con forma funcional menos restringida a una estructura paramétrica más fuerte —si Rasch se ajusta mejor que ADISOP—.

Modelo Énfasis principal Interpretación de medición
ISOP Estructura probabilística ordinal Ordenación ordinal común
ADISOP Añade requisitos de cancelación/aditividad Respalda una representación aditiva cuando se satisfacen sus axiomas
Rasch Añade una forma funcional probabilística específica Estructura paramétrica más fuerte si el modelo es apropiado

4.8 Prueba Directa de los Axiomas de Medición Conjunta

Un enfoque bayesiano iniciado por Karabatsos (2001) y desarrollado posteriormente por Domingue (2014) permite poner a prueba los axiomas de la MCA. Supongamos una variable latente unidimensional y una función que vincula las respuestas de las personas con un conjunto de ítems. Considere que \(P\) es una matriz \(I × J\) que contiene las verdaderas probabilidades de respuesta para ese conjunto de ítems. Cada celda de la matriz conjunta \(P^{MLE}\), de dimensiones \(I × J\), contiene el porcentaje de participantes con determinada habilidad que respondieron correctamente al ítem correspondiente.

Para determinar si los axiomas son verdaderos para \(P\), las restricciones de orden derivadas de los axiomas de cancelación se imponen estocásticamente mediante un procedimiento de muestreo de Metropolis–Hastings (Hastings, 1970; Metropolis et al., 1953). Domingue (2014) realizó estudios de simulación para evaluar este nuevo enfoque, y la evidencia sugiere que puede discriminar entre datos generados con el modelo de Rasch y con el modelo 3PL. Esto es esperable, dado que el modelo de respuesta al ítem 3PL no satisface los axiomas de la medición conjunta aditiva.

Existe un paquete de R llamado ConjointChecks, asociado con esta línea de trabajo (Domingue, 2014), que puede utilizarse para evaluar los supuestos de cancelación de la medición conjunta aditiva. El paquete puede instalarse desde GitHub de la siguiente manera.

Mostrar código de instalación
devtools::install_github("https://github.com/cran/ConjointChecks")
TipCómo leer esta sección

El punto importante no es el software en sí. El avance conceptual consiste en tratar los axiomas de medición como restricciones empíricas que pueden confrontarse con los datos, en lugar de aceptarlos silenciosamente por el simple hecho de haber ajustado un modelo psicométrico conocido.

4.9 De la Teoría de la Medición a la Comparación de Modelos: Un Enfoque Reciente

Las secciones anteriores muestran por qué la medición a nivel de intervalo no debe considerarse una consecuencia automática de asignar números a las respuestas o de ajustar un modelo psicométrico conocido. Sin embargo, queda una dificultad práctica: ¿cómo podemos comparar una representación ordinal con representaciones aditivas más fuertes utilizando datos de respuesta ordinarios?

En un estudio reciente, Degobi et al. (2026) propuso un marco de comparación de modelos diseñado para hacer que este supuesto pudiera ponerse a prueba empíricamente. En lugar de comenzar con modelos que presuponen todos una métrica latente de intervalo, el enfoque compara tres modelos que representan afirmaciones de medición progresivamente más fuertes:

Modelo Qué exige Interpretación del nivel de medición
ISOP Ordenamiento invariante de personas e ítems Es suficiente una representación ordinal común
ADISOP Restricciones de ISOP más una estructura aditiva/de cancelación La evidencia es compatible con una representación aditiva de nivel de intervalo, sin fijar la forma de la función de respuesta
Rasch Aditividad más una función logística específica de respuesta La evidencia favorece la representación más fuerte de aditividad + logística

Esta jerarquía separa dos preguntas que a menudo se combinan en las aplicaciones estándar de TRI. Primero, ¿es suficiente la estructura ordinal o los datos respaldan una representación aditiva persona–ítem? Segundo, si se respalda la aditividad, ¿existe además evidencia para la forma funcional logística particular impuesta por el modelo de Rasch?

ImportanteEl cambio metodológico clave

La pregunta deja de ser simplemente «¿se ajusta el modelo de Rasch?». En su lugar, el nivel de medición pasa a formar parte del problema de comparación de modelos: ¿los datos respaldan únicamente una representación ordinal, una representación aditiva con una función de respuesta monotónica no especificada, o la representación más restrictiva de Rasch? (Degobi et al., 2026)

4.9.1 Comparar modelos mediante grados de libertad efectivos

Una complicación es que ISOP y ADISOP son modelos isotónicos. Su complejidad no puede representarse de forma conveniente mediante un simple recuento de parámetros libres. Por ello, Degobi et al. (2026) estimó grados de libertad efectivos (EDF) mediante muestras bootstrap a nivel de participante y utilizó esta cantidad como penalización por complejidad en varios criterios de información.

Sea \(D\) la devianza de un modelo ajustado a los datos originales y \(\overline{D}_{boot}\) la devianza media de los reajustes bootstrap. La estimación bootstrap empleada en el estudio es

\[ EDF = D - \overline{D}_{boot}. \]

Los criterios de información resultantes son

\[ AIC^* = D + 2(EDF), \]

\[ BIC^* = D + \log(N)(EDF), \]

y

\[ HQC^* = D + 2(EDF)\log\{\log(N)\}. \]

El estudio también examinó un análogo bootstrap del DIC utilizando la variabilidad de las devianzas bootstrap como término de complejidad. Este último criterio se interpretó con mayor cautela porque no es el DIC posterior convencional y mostró inestabilidad computacional en algunas condiciones de simulación (Degobi et al., 2026).

4.9.2 ¿Qué encontró el estudio?

La simulación generó deliberadamente datos a partir de una estructura aditiva de Rasch. Se cruzaron cinco longitudes de test (10, 20, 30, 50 y 100 ítems), tres tamaños muestrales (100, 500 y 1.000) y tres formatos de respuesta (2, 5 y 7 categorías), lo que produjo 45 condiciones. En cada condición se generaron 100 conjuntos de datos independientes.

El principal resultado no fue que una única característica del diseño determinara de manera fiable qué modelo sería seleccionado. La selección dependió de la combinación conjunta de longitud del test, tamaño muestral, formato de respuesta y criterio de información. AIC, BIC y HQC prefirieron con frecuencia ADISOP en datos politómicos, lo que significa que a menudo recuperaron la estructura aditiva de medición sin exigir la forma logística más fuerte de Rasch. En algunos tests dicotómicos más largos, sin embargo, estos criterios se desplazaron hacia ISOP aunque los datos se hubieran generado desde un modelo de Rasch. El DIC bootstrap se comportó con frecuencia de manera diferente a los demás criterios (Degobi et al., 2026).

La ilustración empírica utilizó 45 ítems dicotómicos de Lenguaje del Examen Nacional de Enseñanza Media de Brasil (ENEM). Con una muestra aleatoria de 500 examinados, AIC y HQC favorecieron ISOP, mientras que BIC y el DIC bootstrap favorecieron Rasch. Con los 4.639 casos completos, AIC, BIC y HQC favorecieron ISOP, mientras que el DIC bootstrap continuó favoreciendo Rasch (Degobi et al., 2026).

AdvertenciaNo decida por mayoría de votos

El artículo no recomienda contar cuántos criterios eligen cada modelo y declarar ganador al que obtiene la mayoría. La simulación mostró que los criterios pueden comportarse de manera diferente incluso cuando se conoce la verdadera estructura generadora. El acuerdo entre criterios constituye evidencia más fuerte; el desacuerdo indica que la conclusión sobre el nivel de medición es inestable con el procedimiento actual.

Por tanto, la propuesta no debe interpretarse como una prueba definitiva capaz de demostrar que un atributo psicológico es cuantitativo. Su contribución más modesta consiste en sustituir un supuesto que normalmente queda sin evaluar por una comparación explícita entre representaciones de medición más débiles y más fuertes. El artículo también destaca la necesidad de realizar calibraciones mediante simulación bajo condiciones de diseño semejantes a las de la aplicación de interés antes de formular afirmaciones de alto impacto sobre el nivel de medición (Degobi et al., 2026).

4.10 Ejemplo Aplicado: Nivel de Medición de los Ítems de Amabilidad del BFI

Podemos aplicar la misma lógica a un pequeño ejemplo psicológico utilizando las primeras cinco variables del conjunto de datos psych::bfi:

psych::bfi[, c(1:5)]

Estos son los cinco ítems de Amabilidad (A1 a A5). Como A1 está codificado en sentido inverso respecto de los demás ítems de Amabilidad, lo invertimos antes de ajustar un ordenamiento común persona–ítem. La escala de respuesta va de 1 a 6, por lo que la transformación de puntuación inversa es \(7-A1\).

NotaEjemplo didáctico

Este ejemplo pretende demostrar el flujo de trabajo, no establecer que la Amabilidad sea verdaderamente ordinal o esté medida en una escala de intervalo. Con solo cinco ítems, el diseño difiere considerablemente de muchas de las condiciones estudiadas por Degobi et al. (2026). Cualquier conclusión sustantiva debería, por tanto, apoyarse en trabajo adicional de validación y, de ser posible, en simulaciones calibradas para este diseño particular.

4.10.1 1. Preparar los datos

Mostrar preparación de los datos
# install.packages(c("psych", "sirt"))

Data <- psych::bfi[, c(1:5)]

# A1 está codificado en sentido inverso respecto de los otros ítems de Amabilidad.
Data$A1 <- 7 - Data$A1

# El análisis ISOP/ADISOP siguiente utiliza patrones de respuesta completos.
Data <- Data[complete.cases(Data), ]

# Convertir a una matriz numérica.
Data <- as.matrix(Data)
storage.mode(Data) <- "numeric"

dim(Data)
head(Data)
apply(Data, 2, table)

Antes de continuar, conviene inspeccionar las distribuciones de respuesta. Las categorías muy poco frecuentes, los patrones de respuesta inusuales o los errores de codificación pueden afectar a las restricciones de orden ajustadas.

4.10.2 2. Ajustar los modelos ISOP, ADISOP y Rasch

La función sirt::isop.poly() devuelve las log-verosimilitudes de las representaciones saturada, ISOP, ADISOP y Rasch. La función auxiliar siguiente extrae los valores necesarios para el procedimiento de comparación de modelos.

Mostrar función de ajuste de modelos
isop_wrapper <- function(data) {

  ll <- tryCatch(
    sirt::isop.poly(data)$ll[, 2],
    error = function(e) rep(NA_real_, 4)
  )

  return(ll)
}

ll_orig <- isop_wrapper(Data)

ll_orig

Los cuatro valores devueltos corresponden, en este orden, al modelo saturado, ISOP, ADISOP y al modelo de Rasch.

4.10.3 3. Estimar la complejidad del modelo mediante bootstrap

El artículo utilizó 1.000 replicaciones bootstrap a nivel de participante. Como esto puede requerir tiempo, el código siguiente guarda el número de replicaciones en un único objeto para que pueda reducirse fácilmente mientras se aprende el procedimiento.

Mostrar código bootstrap
set.seed(2026)

B <- 1000L

boot_worker_isop <- function(k, data) {

  data_boot <- data[
    sample.int(nrow(data), nrow(data), replace = TRUE),
    ,
    drop = FALSE
  ]

  isop_wrapper(data_boot)
}

n_cores <- max(1L, parallel::detectCores() - 1L)
cl <- parallel::makeCluster(n_cores)

parallel::clusterEvalQ(cl, {
  library(sirt)
})

parallel::clusterExport(
  cl,
  c("isop_wrapper", "boot_worker_isop"),
  envir = environment()
)

bs_ll <- tryCatch(
  parallel::parSapply(
    cl = cl,
    X = seq_len(B),
    FUN = boot_worker_isop,
    data = Data
  ),
  finally = parallel::stopCluster(cl)
)
TipPara una ejecución rápida de práctica

Al probar el código por primera vez, utilice B <- 100 o B <- 200. En un análisis sustantivo, aumente el número de replicaciones bootstrap y examine si los EDF resultantes y las conclusiones de selección de modelos son estables. El manuscrito utilizó 1.000 replicaciones bootstrap.

4.10.4 4. Calcular los criterios de información

Ahora transformamos las log-verosimilitudes en devianzas, estimamos los grados de libertad efectivos y calculamos AIC, BIC, HQC y el análogo bootstrap de DIC utilizando las mismas fórmulas que en el ejemplo empírico de Degobi et al. (2026).

Mostrar cálculos de los criterios de información
# Devianzas bootstrap
bs_dev <- -2 * bs_ll

# Devianzas originales
Dev <- -2 * ll_orig

# Devianza bootstrap media
Dbar <- rowMeans(bs_dev, na.rm = TRUE)

# Grados de libertad efectivos
edf <- Dev - Dbar

# Término de complejidad basado en la varianza para el DIC bootstrap
pD <- apply(bs_dev, 1, var, na.rm = TRUE) / 2

# Criterios de información
AIC <- Dev + 2 * edf
BIC <- Dev + log(nrow(Data)) * edf
HQC <- Dev + 2 * edf * log(log(nrow(Data)))
DIC <- Dbar + pD

Results <- round(
  t(
    data.frame(
      Dev = Dev,
      Dbar = Dbar,
      edf = edf,
      pD = pD,
      AIC = AIC,
      BIC = BIC,
      HQC = HQC,
      DIC = DIC
    )
  ),
  3
)

colnames(Results) <- c(
  "Saturated",
  "ISOP",
  "ADISOP",
  "Rasch"
)

Results

El menor valor de un criterio de información indica el modelo preferido para ese criterio. Podemos resumir directamente esas selecciones:

Mostrar resumen de selección de modelos
criteria <- c("AIC", "BIC", "HQC", "DIC")
candidate_models <- c("ISOP", "ADISOP", "Rasch")

selected_model <- vapply(
  criteria,
  function(criterion) {

    values <- Results[
      criterion,
      candidate_models
    ]

    names(which.min(values))
  },
  character(1)
)

data.frame(
  Criterion = criteria,
  Selected_Model = selected_model,
  row.names = NULL
)

4.10.5 5. Interpretar el resultado como una comparación de afirmaciones de medición

El resultado debe interpretarse de acuerdo con las restricciones codificadas por los modelos competidores:

  • ISOP seleccionado: el criterio prefiere la representación ordinal común, más débil, frente a las alternativas aditivas.
  • ADISOP seleccionado: el criterio aporta evidencia compatible con una representación aditiva, pero no necesita la restricción logística adicional de Rasch.
  • Rasch seleccionado: el criterio favorece la representación aditiva junto con la forma funcional logística de Rasch.
  • Los criterios discrepan: los datos no producen una conclusión estable sobre el nivel de medición bajo este procedimiento.

Ninguno de estos resultados debe traducirse en afirmaciones como «se ha demostrado que la Amabilidad está medida en una escala de intervalo». La selección de modelos siempre es relativa a las representaciones candidatas y a sus restricciones empíricas. La principal ventaja del análisis es que la distinción ordinal frente a aditiva se convierte en algo que podemos examinar, en lugar de algo que asumimos silenciosamente (Degobi et al., 2026).

4.11 Consideraciones Finales

El argumento central de este capítulo es sencillo, aunque la teoría no lo sea: usar números no basta para establecer medición. Una afirmación de medición requiere una relación defendible entre la estructura de un atributo empírico y la estructura numérica utilizada para representarlo.

Por eso la distinción entre codificación numérica y medición es tan importante en psicología. Los modelos psicométricos pueden ser extremadamente útiles, pero su estructura estadística no debería tratarse automáticamente como prueba de que el atributo psicológico en sí mismo es cuantitativo. La medición conjunta aditiva proporciona un marco para explicitar estos supuestos mediante condiciones de orden, cancelación, solubilidad y arquimedianas.

Los debates en torno a la taxometría, el modelado de Rasch, ISOP, ADISOP y las pruebas directas de los axiomas de medición conjunta regresan a la misma pregunta: ¿qué evidencia empírica justifica la interpretación numérica que damos a las puntuaciones psicológicas? Mantener visible esta pregunta ayuda a conectar la teoría de la medición con las preocupaciones más amplias sobre validez desarrolladas anteriormente en el libro y con los modelos psicométricos que se presentan en los capítulos siguientes.